Question

如圖所示的平面直角坐標系中，虛線OM與x軸成45°角，在OM與x軸之間（包括x軸）存在垂直紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在y軸與OM之間存在豎直向下、電場強度大小為E的勻強電場，有一個質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子以某速度沿x軸正方向從O點射入磁場區(qū)域并發(fā)生偏轉，不計帶電粒子的重力和空氣阻力，在帶電粒子進入磁場到第二次離開電場的過程中，求
（1）若帶電粒子從O點以速度V₁進入磁場區(qū)域，求帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離？
（2）若帶電粒子第二次離開電場時恰好經過O點，求粒子最初進入磁場時速度V的大��？并討論當V變化時，粒子第二次離開電場時速度大小與V大小的關系．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進入磁場中，受到洛倫茲力做勻速圓周運動，由牛頓第二定律和向心力公式求出粒子的軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識求粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離；
（2）帶電粒子進入電場時做類平拋運動，第二次離開電場時恰好經過O點，畫出軌跡，運用運動的分解，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出粒子進入電場時的初速度大小，即是粒子最初進入磁場時速度V的大小．再討論當V變化時，粒子第二次離開電場時速度大小與V大小的關系．

解答：解：（1）帶電粒子進入磁場中，受到洛倫茲力做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得
    qv₁B=m

v 2 1

R

得軌跡半徑 R=

mv1

qB

設粒子從N點離開磁場，如圖，由幾何知識知，ON=

2

R=

2 mv1

qB

（2）帶電粒子進入電場時做類平拋運動，第二次離開電場時恰好經過O點，畫出軌跡，則
   水平位移  x=2R=vt
   豎直位移  y=2R=

1

2

at2
  而a=

qE

m

聯立得：v=

E

B

討論：
i）若v＞

E

B

，則粒子從y軸離開電場，水平位移為x=2R=

2mv

qB

=vt，得t=

2m

qB

離開電場時豎直分速度v_y=at=

qE

m

?

2m

qB

=

2E

B

帶電粒子離開電場時速度大小為u=

v 2 y +v2

=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，則粒子從OM邊界離開電場，粒子在x、y兩個方向的分位移相等．
   x=vt
   y=

vy

2

t
則得v_y=2v
所以粒子離開電場時速度大小為u=

v 2 y +v2

=

5

v．
答：
（1）若帶電粒子從O點以速度V₁進入磁場區(qū)域，帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離為

2 mv1

qB

．
（2）若帶電粒子第二次離開電場時恰好經過O點，粒子最初進入磁場時速度V的大小為

E

B

．當V變化時，粒子第二次離開電場時速度大小與V大小的關系如下：
i）若v＞

E

B

，則粒子帶電粒子離開電場時速度大小為u=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，則粒子離開電場時速度大小為u=

5

v．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，解題關鍵是畫出軌跡，根據幾何知識分析求解．