Question

16．如圖所示，一個(gè)與平臺(tái)連接的足夠長(zhǎng)斜坡傾角為θ，sinθ=$\frac{1}{30}$，一輛卡車的質(zhì)量為5×10³kg，設(shè)卡車運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力和地面阻力之和與速度成正比，即f=kv．關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，卡車能沿斜坡勻速下滑，勻速運(yùn)動(dòng)的速度為12km/h，g取10m/s²
（1）求比例系數(shù)k；
（2）現(xiàn)使卡車乙恒定功率P沿斜坡向上行駛，達(dá)到的最大速度為53km/h，求功率P；
（3）當(dāng)卡車以54km/h開上平臺(tái)后，繼續(xù)保持次恒定功率行駛10s，再次達(dá)到勻速行駛，其卡車開上平臺(tái)后到勻速行駛的過程中克服阻力所做的功．

Answer 1

分析 卡車在斜面上下滑時(shí)，當(dāng)阻力和重力分力平衡時(shí)卡車速度最大，依列式求解即可，當(dāng)卡車沿斜面向上行駛時(shí)，牽引與阻力以及重力的分力平衡，根據(jù)平衡求得此時(shí)的牽引力，再根據(jù)P=FV求得卡車此時(shí)的功率；當(dāng)卡車沖上平臺(tái)后，因牽引力大于阻力，故卡車將做加速運(yùn)動(dòng)，由于卡車功率一定，故隨著速度的增加卡車的牽引力將減小，當(dāng)牽引力與阻力平衡時(shí)卡車將開始做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的速度即為卡車以該功率運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速度．在這一過程中卡車發(fā)動(dòng)機(jī)做的功W=Pt，阻力做功W_f，則合外力做的功等于卡車動(dòng)能的變化．列式求解即可．

解答 解：（1）卡車沿斜面下滑時(shí)受到沿斜面向上的阻力，當(dāng)汽車所受阻力與重力沿斜面向下的分力大小相等時(shí)，汽車具有最大速度，所以有：
mgsinθ=kv_m
則根據(jù)題意有：k=$\frac{mgsinθ}{{v}_{m}}$=$\frac{5×1{0}^{3}×10×\frac{1}{30}}{\frac{12}{3.6}}$=500Ns/m
（2）汽車沿斜面向上行駛時(shí)，沿斜面方向受到向上的牽引力F和沿斜面向下的阻力f和沿斜面向下的重力分力mgsinθ，當(dāng)汽車速度最大時(shí)有：
F=f+mgsinθ
根據(jù)題意有當(dāng)汽車速度最大時(shí)汽車所受的阻力為：f=kv_m
所以有汽車速度最大時(shí)的牽引力：F=kv_m+mgsinθ
根據(jù)P=FV得此時(shí)汽車的功率：P=Fv_m=$k{v}_{m}^{2}+mgsinθ{v}_{m}$
解得：P=137.5KW；
（3）卡車開上平臺(tái)后，受牽引力和阻力作用，卡車先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)汽車牽引力等于阻力時(shí)卡車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，令此時(shí)卡車速度為v₂
則根據(jù)題意有：此時(shí)卡車牽引力：F₂=f₂=kv₂
卡車的功率：P=${F}_{2}{v}_{2}=k{v}_{2}^{2}$
故有：$\frac{P}{k}$=${v}_{2}^{2}$
卡車平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)40s的過程中對(duì)卡車使用動(dòng)能定理有：
$Pt+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
${W}_{f}=\frac{1}{2}m（{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}）-Pt$
代入數(shù)據(jù)得：W_f=-1.25×10⁶J；
故克服阻力做功為1.25×10⁶J；
答：（1）比例系數(shù)為500Ns/m；
（2）功率為137.5Kw；
（3）卡車開上平臺(tái)后到勻速行駛的過程中克服阻力所做的功為1.25×10⁶J；

點(diǎn)評(píng) 本題要注意在第一問中比例系數(shù)K是有單位的，二是卡車運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)牽引力和阻力大小相等；三是熟練利用動(dòng)能定理求解卡車在平臺(tái)上的變速運(yùn)動(dòng)問題．