Question

20．如圖所示，一端封閉的兩條平行光滑長導(dǎo)軌相距L，距左端L處的右側(cè)-段被彎成半徑為$\frac{L}{2}$的四分之一圓弧，圓弧導(dǎo)軌的左、右兩段處于高度相差$\frac{L}{2}$的水平面上．以弧形導(dǎo)軌的末端點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標(biāo)軸．圓弧導(dǎo)軌所在區(qū)域無磁場；左段區(qū)域存在空間上均勻分布，但隨時間t均勻變化的磁場B（t），如圖2所示；右段區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不隨時間變化，只沿x方向均勻變化的磁場B（x），如圖3所示；磁場B（t）和B（x）的方向均豎直向上．在圓弧導(dǎo)軌最上端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導(dǎo)軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時左段磁場B（t）開始變化，金屬棒與導(dǎo)軌始終接觸良好，經(jīng)過時間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導(dǎo)軌底端．已知金屬棒在回路中的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計，重力加速度為g．
（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E；
（2）如果根據(jù)已知條件，金屬棒能離開右段磁場B（x）區(qū)域，離開時的速度為v，求金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）如果根據(jù)已知條件，金屬棒滑行到x=x₁位置時停下來，
a．求金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導(dǎo)體棒的電荷量q；
b．通過計算，確定金屬棒在全部運(yùn)動過程中感應(yīng)電流最大時的位置．

Answer 1

分析 （1）由圖看出，左段區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間線性變化，其變化率一定，由法拉第電磁感應(yīng)定律得知，回路中磁通量的變化率相同，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動勢．
（2）根據(jù)歐姆定律和焦耳定律結(jié)合求解金屬棒在弧形軌道上滑行過程中產(chǎn)生的焦耳熱．再根據(jù)能量守恒求出金屬棒在水平軌道上滑行的過程中產(chǎn)生的焦耳熱，即可得到總熱量．
（3）在金屬棒滑到圓弧底端進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B₀的一瞬間，在很短的時間△t內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和感應(yīng)電流的表達(dá)式，求出感應(yīng)電荷量q．再進(jìn)行討論．

解答 解：（1）由圖2可知，$\frac{△B}{△t}=\frac{B_0}{t_0}$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動勢為：$E=\frac{△Φ}{△t}={L^2}\frac{△B}{△t}={L^2}\frac{B_0}{t_0}$…①
（2）金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為：${Q_1}=\frac{U^2}{R}t=\frac{{{L^4}B_0^2}}{{R{t_0}}}$
金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：$mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}mv_0^2$…②
金屬棒在水平軌道上滑行的過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂，根據(jù)能量守恒定律有：${Q_2}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{v^2}=mg\frac{L}{2}-\frac{1}{2}m{v^2}$
所以，金屬棒在全部運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱為：$Q={Q_1}+{Q_2}=\frac{{{L^4}B_0^2}}{{R{t_0}}}+mg\frac{L}{2}-\frac{1}{2}m{v^2}$
（3）a．根據(jù)圖3，x=x₁（x₁＜x₀）處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：${B_1}=\frac{{{B_0}（{x_0}-{x_1}）}}{x_0}$．
設(shè)金屬棒在水平軌道上滑行時間為△t．由于磁場B（x）沿x方向均勻變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律△t時間內(nèi)的平均感應(yīng)電動勢為：
$\overline E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{{L{x_1}\frac{{{B_0}+{B_1}}}{2}}}{△t}=\frac{{{B_0}L{x_1}（2{x_0}-{x_1}）}}{{2{x_0}△t}}$
所以，通過金屬棒電荷量為：$q=\overline I△t=\frac{\overline E}{R}△t=\frac{{{B_0}L{x_1}（2{x_0}-{x_1}）}}{{2{x_0}R}}$
b．金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)①式有：${I_1}=\frac{E}{R}=\frac{{{L^2}{B_0}}}{{R{t_0}}}$
金屬棒在水平軌道上滑行過程中，由于滑行速度和磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度都在減小，所以，此過程中，金屬棒剛進(jìn)入磁場時，感應(yīng)電流最大．
根據(jù)②式，剛進(jìn)入水平軌道時，金屬棒的速度為：${v_0}=\sqrt{gL}$
所以，水平軌道上滑行過程中的最大電流為：${I_2}=\frac{E'}{R}=\frac{{{B_0}L\sqrt{gL}}}{R}$
若金屬棒自由下落高度$\frac{L}{2}$，經(jīng)歷時間$t=\sqrt{\frac{L}{g}}$，顯然t₀＞t
所以，${I_1}=\frac{{{L^2}{B_0}}}{{R{t_0}}}＜\frac{{{L^2}{B_0}}}{Rt}=\frac{{{L^2}{B_0}}}{{R\sqrt{\frac{L}{g}}}}={I_2}$
綜上所述，金屬棒剛進(jìn)入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大．
答：（1）金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E是${L}^{2}\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$；
（2）金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}$+mg$\frac{L}{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）a．金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導(dǎo)體棒的電荷量q為$\frac{{B}_{0}L{x}_{1}（2{x}_{0}-{x}_{1}）}{2{x}_{0}R}$；
b．金屬棒在全部運(yùn)動過程中金屬棒剛進(jìn)入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大．

點(diǎn)評 本題中（1）（2）問，磁通量均勻變化，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流均恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律研究感應(yīng)電動勢是關(guān)鍵．對于感應(yīng)電荷量，要能熟練地應(yīng)用法拉第定律和歐姆定律進(jìn)行推導(dǎo)．