Question

18．如圖所示，在邊界上方和下方分別有垂直紙面向里向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B．一質(zhì)量為m，電量為q的負(fù)離子，以速度v₀從邊界上的p點(diǎn)沿紙面目垂直于邊界向上射出．
（1）試分析離子的運(yùn)動(dòng)情況．并畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡；
（2）若將邊界上方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小改為2B，方向改為向外，則情況又會(huì)如何？
（3）試計(jì)算上面兩種條件下，粒子的運(yùn)動(dòng)周期T及沿分界面推進(jìn)的平均速度大小，經(jīng)過(guò)n周期沿分界面推進(jìn)的距離．

Answer 1

分析 （1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出離子的軌道半徑；應(yīng)用左手定則判斷出離子所受洛倫茲力方向，然后作出離子運(yùn)動(dòng)軌跡．
（2）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出離子的軌道半徑；應(yīng)用左手定則判斷出離子所受洛倫茲力方向，然后作出離子運(yùn)動(dòng)軌跡．
（3）根據(jù)離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出離子運(yùn)動(dòng)周期，應(yīng)用平均速度公式求離子的平均速度，求出n周期沿分界面前進(jìn)的距離．

解答 解：（1）洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r_上=r_下=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由左手定則可知，離子在邊界上方沿瞬時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)，在邊界下方沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)，離子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

（2）洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得，在邊界上方：qv₀•2B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r_上=$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$，在邊界下方：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，r_下=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=2r_上，
由左手定則可知，離子在邊界上方沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)，在邊界下方沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)，離子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

（3）①在第一種條件下，離子運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{1}{2}$T_上+$\frac{1}{2}$T_下=$\frac{1}{2}$×$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$，沿界面推進(jìn)的平均速度：v₁=$\frac{s}{T}$=$\frac{2（{r}_{上}+{r}_{下}）}{T}$=$\frac{4×\frac{m{v}_{0}}{qB}}{\frac{2πm}{qB}}$=$\frac{2{v}_{0}}{π}$；經(jīng)過(guò)n周期沿分界面推進(jìn)的距離：S₁=2n（r_上+r_下）=$\frac{4nm{v}_{0}}{qB}$；
②在第二種條件下，離子運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{1}{2}$T_上+$\frac{1}{2}$T_下=$\frac{1}{2}$×$\frac{2πm}{q×2B}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πm}{2qB}$，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期沿界面推進(jìn)的平均速度：v₂=$\frac{s}{T}$=$\frac{2（{r}_{下}-{r}_{上}）}{T}$=$\frac{2×（\frac{m{v}_{0}}{qB}-\frac{m{v}_{0}}{2qB}）}{\frac{3πm}{2qB}}$=$\frac{2{v}_{0}}{3π}$，經(jīng)過(guò)n周期沿分界面推進(jìn)的距離：S₂=2n（r_下-r_上）=$\frac{nm{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；（2）運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；
（3）兩種條件下，粒子的運(yùn)動(dòng)周期T分別為：$\frac{2πm}{qB}$、$\frac{3πm}{2qB}$；沿分界面推進(jìn)的平均速度大小分別為$\frac{2{v}_{0}}{π}$、$\frac{2{v}_{0}}{3π}$；經(jīng)過(guò)n周期沿分界面推進(jìn)的距離分別為：$\frac{4nm{v}_{0}}{qB}$、$\frac{nm{v}_{0}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用左手定則判斷出離子所受洛倫茲力方向、作出離子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式、平均速度公式即可解題．