Question

4．如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸方向傳播，波速v=3m/s．t=0時刻，x=1m處的質點A的位移為2cm，且向上振動，x=30m處的質點B的位移為4cm，且處于波峰位置．已知該波的周期T滿足2s≤T≤2.5s，則下列說法中正確的是（　　）

• A． 該波的周期一定為2.32 s
• B． 該波不可能沿x軸負方向傳播
• C． t=1s時，質點A的加速度沿y軸正方向
• D． 0～10 s時間內，質點B運動的路程為0.8m

Answer 1

分析 簡諧橫波傳播過程中，介質中各質點均做簡諧運動，a、b兩個質點位于平衡位置上方，根據(jù)振動方向和位移關系，結合數(shù)學知識求解周期．由數(shù)學知識可知，圖示時刻A、B之間的距離為x=（n+$\frac{5}{6}$）λ或為x=（n+$\frac{1}{6}$）λ，（n=0，1，2，…），求出波長，從而判斷質點的振動情況．

解答 解：AB、若該波沿x軸正方向傳播，由題干圖可知，該波的振幅為4cm，由振動方程：x=Asin（ωt+φ₀）
t=0時，A的位移為2cm且運動的方向向上，則A點的振動方程為：x_A=4sin（ωt+φ₁）cm
所以φ₁=$\frac{π}{6}$rad
t=0時，質點B的位移為4cm，則B點的振動方程：x_B=4sin（ωt+φ₂）cm
所以：φ₂=0.5πrad
由數(shù)學知識可知，A與B之間的距離：x_B-x_A=（n+$\frac{5}{6}$）λ，（n=0，1，2，…），
則該波由A傳播到B的時間：t=$\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{v}=（n+\frac{5}{6}）T$
聯(lián)立可得：T=$\frac{58}{（6n+5）}$s
由題，2s≤T≤2.5s
當n=3時，T=2.52s，不符合題意；
當n=4時，T=2s，符合題意．
此時：$λ=\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{4+\frac{5}{6}}=\frac{30-1}{\frac{29}{6}}=6$m
同理，若該波沿x軸負方向傳播，則：x_B-x_A=（n+$\frac{1}{6}$）λ，（n=0，1，2，…），
則該波由A傳播到B的時間：t=$\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{v}=（n+\frac{1}{6}）T$
聯(lián)立可得：T=$\frac{58}{（6n+1）}$s
由題，2s≤T≤2.5s
當n=3時，T=3.05s，不符合題意；
當n=4時，T=2.32s，符合題意．
由以上的分析可知，該波可能沿x軸的正方向傳播，周期為2s；有可能沿x軸的方向傳播，周期為2.32s．故AB錯誤；
C、若該波沿x軸正方向傳播，周期為2s，t=1s時經歷了半個周期，所以A點位于x軸的下方，則加速度的方向向上；
若該波沿x軸負方向傳播，周期為2.32s，t=1s時經歷了$\frac{1}{2.32}T$$＞\frac{1}{3}$T，所以A點位于x軸的下方，則加速度的方向向上．故C正確；
D、由于該波可能沿x軸正方向傳播，有可能沿x軸負方向傳播，所以不能確定10s內的路程．故D錯誤．
故選：C

點評 本題考查運用數(shù)學處理物理問題的能力，知道兩個質點的運動狀態(tài)，得到的往往是波長的通項．