Question

如圖所示，是一種電子擴(kuò)束裝置的原理示意圖．直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O處有一電子發(fā)生器，朝xOy平面內(nèi)x≥0區(qū)域任意方向發(fā)射電子，電子的速率均為v₀，已知電子的電荷量為e、質(zhì)量為m．在0≤x≤d的區(qū)域內(nèi)分布著沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=

3mv02

2ed

，在x＞d區(qū)域內(nèi)分布著足夠大且垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

4mv0

ed

．a(chǎn)b為一塊很大的平面感光板，在磁場(chǎng)內(nèi)平行于y軸放置，電子打到板上時(shí)會(huì)在板上形成一條亮線．不計(jì)電子的重力和電子之間的相互作用．
（1）求電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）當(dāng)感光板ab沿x軸方向移到某一位置時(shí)，恰好沒(méi)有電子打到板上，求感光板到y(tǒng)軸的距離x₁
（3）保持（2）中感光板位置不動(dòng)，若使所有電子恰好都能打到感光板上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小以及電子打到板上形成亮線的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功都相同，為eEd，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小，即得到電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）電子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．對(duì)于沿y軸負(fù)方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，不能打到ab板上，則所有電子均不能打到ab板上．當(dāng)此電子軌跡與ab板相切時(shí)，畫(huà)出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識(shí)求出感光板到y(tǒng)軸的距離x₁．
（3）沿y軸正方向射出的電子若能打到ab板上，則所有電子均能打到板上．此電子軌跡恰好與ab板相切，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�電子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)中沿y軸方向的位移，由幾何關(guān)系求出電子打到板上形成亮線的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：eEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

得     v=2v₀

（2）由v₀=

v

2

知，對(duì)于沿y軸負(fù)方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與邊界線夾角θ=60°，若此電子不能打到ab板上，則所有電子均不能打到ab板上．當(dāng)此電子軌跡與ab板相切時(shí)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有evB=m

v2

r

又    B=

4mv0

ed

得      r=

d

2

由幾何知識(shí)  x₁=r（1+cos60°）+d
解得        x1=

7

4

d
（3）易知沿y軸正方向射出的電子若能打到ab板上，則所有電子均能打到板上．其臨界情況就是此電子軌跡恰好與ab板相切，畫(huà)出軌跡如圖所示，
此時(shí)        r′(1-cos60°)=

3

4

d
故         r′=

3

2

d=3r
由         qvB′=m

v2

r′

解得      B′=

4mv0

3ed

此時(shí)，所有粒子恰好都能打到板上
電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程eE=ma，d=

1

2

at2
沿y軸方向的位移 y1=v0t=

2 3

3

d
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，沿y軸負(fù)方向的偏轉(zhuǎn)量  y₂=r′（1-sinθ）
沿y軸正方向的偏轉(zhuǎn)量  y₃=r′sinθ
電子打到板上形成亮線的長(zhǎng)度L=2y1+y2+y3=

4 3

3

d+

3

2

d
答：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為2v₀；
（2）當(dāng)感光板ab沿x軸方向移到某一位置時(shí)，恰好沒(méi)有電子打到板上，感光板到y(tǒng)軸的距離x₁為

7

4

d；
（3）保持（2）中感光板位置不動(dòng)，若使所有電子恰好都能打到感光板上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小以及電子打到板上形成亮線的長(zhǎng)度為

4 3

3

d+

3

2

d．

點(diǎn)評(píng)：本題是電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵是分析臨界情況，當(dāng)電子剛好不能打到ab板上時(shí)，其軌跡恰好與ab板相切，這是經(jīng)常用到的臨界條件，再由幾何關(guān)系求出亮線的長(zhǎng)度．