Question

如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內(nèi)建立xoy坐標(biāo)系，在第Ⅱ象限內(nèi)有平行于桌面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向與x軸負(fù)方向的夾角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板C₁、C₂，兩板間距為d₁=0.6m，板間有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩板右端在y軸上，板C₁與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為l₁=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x 軸放置一豎直平板C₃，垂足為Q，Q、O相距d₂=0.18m，板C₃長(zhǎng)l₂=0.6m．現(xiàn)將一帶負(fù)電的小球從桌面上的P點(diǎn)以初速度v₀=2m/s垂直于電場(chǎng)方向射出，剛好垂直于x軸穿過C₁板上的M孔，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．已知小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球的比荷=20C/kg，P點(diǎn)與小孔M在垂直于電場(chǎng)方向上的距離為s=m，不考慮空氣阻力．

求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大��；

（2）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場(chǎng)并打到平板C₃上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍；

（3）以小球從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)開始計(jì)時(shí)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間呈周期性變化，規(guī)定豎直向上為磁感強(qiáng)度的正方向，如圖乙所示，則小球能否打在平板C₃上？若能，求出所打位置到Q點(diǎn)距離；若不能，求出其軌跡與平板C₃間的最短距離．（=1.73，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

【考點(diǎn)】： 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)；帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．

【專題】： 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)專題．

【分析】： （1）小球在第二象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�

（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出經(jīng)過M點(diǎn)的速度，作出粒子在磁場(chǎng)中的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．

（3）根據(jù)半徑公式和周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，由磁場(chǎng)的周期得出小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，以及得出在一個(gè)磁場(chǎng)周期內(nèi)小球在x軸方向的位移，判斷能否打在平板C₃上，若能打在平板C₃上，通過幾何關(guān)系求出其軌跡與平板C₃間的最短距離．

【解析】： 解：（1）小球在第Ⅱ象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)有：

v₀t=s

at=v₀tanθ

由牛頓第二定律有：qE=ma

代入據(jù)解得：E=．

（2）設(shè)小球通過M點(diǎn)時(shí)的速度為v，

由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：==4m/s，

小球垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入兩板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖，由牛頓第二定律有：

，

得：B=

小球剛好能打到Q點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)設(shè)為B₁．此時(shí)小球的軌跡半徑為R₁，由幾何關(guān)系有：

=

代入數(shù)據(jù)解得：．

小球剛好不與C₂板相碰時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小設(shè)為B₂，此時(shí)粒子的軌跡半徑為R₂，由幾何關(guān)系有：

R₂=d₁，

代入數(shù)據(jù)解得：．

綜合得磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍：

（3）小球進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為為R₃，周期為T有：

，

代入數(shù)據(jù)解得：R₃=0.09m．

，

代入數(shù)據(jù)解得：T=．

由磁場(chǎng)周期得小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖

可得：一個(gè)磁場(chǎng)周期內(nèi)小球在x軸方向的位移為3R₃

由分析知有：l₁=（3n+2）R₃，n=2

則小球能打在平板C₃上，設(shè)位置到Q點(diǎn)距離為h有：

h=2（n+1）R₃cosβ﹣R₃，

解得：h==0.38m．

答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為；

（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為；

（3）小球能打在平板C₃上，軌跡與平板C₃間的最短距離為0.38m．

【點(diǎn)評(píng)】： 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和幾何關(guān)系列式求解，難度較大．