Question

在美英聯(lián)軍發(fā)動(dòng)的對(duì)伊拉克的戰(zhàn)爭(zhēng)中，美國(guó)使用了先進(jìn)的偵察衛(wèi)星．據(jù)報(bào)道，美國(guó)有多顆最先進(jìn)的KH-1、KH-2“鎖眼”系列照相偵察衛(wèi)星可以通過西亞地區(qū)上空，“鎖眼”系列照相偵察 衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)265km（指衛(wèi)星與地面的最近距離），遠(yuǎn)地點(diǎn)650km（指衛(wèi)星與地面的最遠(yuǎn)距離），質(zhì)量13.6-18.2t．這些照相偵察衛(wèi)星上裝有先進(jìn)的CCD數(shù)字照相機(jī)，能夠分辨出地面上0.1m大小的目標(biāo)，并自動(dòng)地將照片傳給地面接收站及指揮中心．由開普勒定律知道：如果衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓軌道半徑跟橢圓軌道的半長(zhǎng)軸相等，那么，衛(wèi)星沿圓軌道的周期跟衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期相等．請(qǐng)你由上述數(shù)據(jù)估算這些“鎖眼”系列照相偵察衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速率．地球的半徑R=6400km，g取10m/s²．（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的等效半徑為r=

1

2

(h1+h2+2R)=

1

2

(265+650+6400×2)km=6857.5km．
設(shè)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)萬有引力定律提供向心力有：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r  和 G

Mm

r12

=m

v2

r1

，其中r₁為遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心距離．物體在地球表面的重力等于萬有引力，即G

Mm

R2

=mg，由此可解得T=

2πr

R

r g

和v=R

g r1

，代入數(shù)據(jù)，可求得偵察衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速率．

解答：解：設(shè)遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面h₁=650km，近地點(diǎn)距地面h₂=265km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心距離為r₁=h₁+R=7050km，
根據(jù)題意可知，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的等效半徑為
r=

1

2

(h1+h2+2R)=

1

2

(265+650+6400×2)km=6857.5km
設(shè)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)萬有引力定律提供向心力有：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①
  G

Mm

r12

=m

v2

r1

  ②
物體在地球表面的重力等于萬有引力，即G

Mm

R2

=mg  ③
由①③兩式可得T=

2πr

R

r g

代入數(shù)據(jù)T=

2×3.14×6.9×106

6.4×106

×

6.9×106 10

s=5.6×103s
由②③兩式可得v=R

g r1

=6.4×106×

10 7.0×106

m/s=7.6×103m/s
答：偵察衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為5.6×10³s，衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速率為7.6×10³m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了萬有引力提供向心力和物體在地球表面的重力等于萬有引力這兩個(gè)關(guān)系，這兩個(gè)關(guān)系是解決一切天體問題的關(guān)鍵．