Question

如圖所示，一根原長(zhǎng)為l₀=20cm的輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)k=40N/m，一端栓著一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物塊，另一端固定在水平轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)臺(tái)的中心軸上．已知小物塊在隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)彈簧的實(shí)際長(zhǎng)度為l=25cm，小物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，取g=10m/s²．求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為多大？
（2）小物塊運(yùn)動(dòng)的周期為多大？

Answer 1

分析：當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度較小時(shí)，小物塊有向軸心滑動(dòng)的趨勢(shì)；當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度較大時(shí)，小物塊有遠(yuǎn)離軸心滑動(dòng)的趨勢(shì)． 結(jié)合牛頓第二定律求出小物塊的角速度和周期．

解答：解：當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度較小時(shí)，小物塊有向軸心滑動(dòng)的趨勢(shì)；當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度較大時(shí)，小物塊有遠(yuǎn)離軸心滑動(dòng)的趨勢(shì)．                           
（1）當(dāng)小物塊有向軸心滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，其受轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與彈簧的拉力方向相反．設(shè)此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為ω₁，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)有
k（l-l₀）-μmg=mω₁²l
代入數(shù)據(jù)解得ω₁=2rad/s
當(dāng)小物塊有遠(yuǎn)離軸心滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，其受轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力與彈簧的拉力方向相同．設(shè)此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為ω₂，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)有
k（l-l₀）+μmg=mω₂²l
代入數(shù)據(jù)解得ω₂=2

3

rad/s≈3.5rad/s
于是，轉(zhuǎn)臺(tái)的實(shí)際角速度為   2 rad/s≤ω≤3.5rad/s
（2）由T=

2π

ω

，可得轉(zhuǎn)臺(tái)的實(shí)際周期為8s≤T≤3.14s．
答：（1）小物塊的角速度為2 rad/s≤ω≤3.5rad/s
（2）小物塊的周期為8s≤T≤3.14s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．