Question

3．在桌面上有一個倒立的透明的玻璃錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面為等邊三角形，如圖所示．有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的桌面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率為n=$\sqrt{3}$．r為已知，光在真空中的速度為c．求：
（1）通過計算說明光線1能不能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射？
（2）光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點后射到桌面上某一點所用的總時間t是多少？光照亮地面的光斑面積S多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的地面上，經(jīng)過第一次折射時，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發(fā)生偏折．當(dāng)?shù)诙�次折射時，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率為n=$\sqrt{3}$，可得入射角與臨界角的大小，所以會發(fā)生光的全反射，反射光線卻恰好垂直射出．
（2）可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光線在圓錐內(nèi)和外通過的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光線在玻璃中的速度，即可求解時間．可先根據(jù)幾何關(guān)系可確定光斑的半徑，再求解光斑面積．

解答 解：（1）設(shè)玻璃圓錐的臨界角為C，則有$sinC=\frac{1}{n}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
光線在B點的入射角為 θ=60°，則$sinθ=sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
因為sinθ＞sinC，所以光線l能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射
（2）根據(jù)幾何關(guān)系知 BE=ED=$\sqrt{3}$r
光在圓錐體中傳播速度為 v=$\frac{c}{n}$
所以，總時間 t=$\frac{BE}{v}$+$\frac{ED}{c}$=（3+$\sqrt{3}$）$\frac{r}{c}$
根據(jù)幾何關(guān)系知光照亮地面的光斑半徑 R=2r
所以光照亮地面的光斑面積 S=4πr²．
答：（1）光線1能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射．
（2）光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點后射到桌面上某一點所用的總時間t為（3+$\sqrt{3}$）$\frac{r}{c}$，光照亮地面的光斑面積s是4πr²．

點評 本題關(guān)鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時利用幾何關(guān)系來輔助計算．