Question

2．我國月球探測計劃“嫦娥工程”已經啟動，科學家對月球的探索會越來越深入．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r，引力常量為G，試求出月球的質量M_月．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力與萬有引力相等，月球繞地球圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力據(jù)此列式求解；
（2）根據(jù)豎直上拋運動的速度和時間求得月球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力等于重力求得月球質量．

解答 解：（1）在地球表面有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$    ①
月球繞地球圓周運動有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$       ②
由①②兩式解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）根據(jù)豎直上拋規(guī)律可知，以v₀上拋的物體運動時間t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$
可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{2{v}_{0}}{t}$
在月球表面，重力與萬有引力相等有：
$G\frac{{M}_{月}m}{{r}^{2}}=mg′$
代入重力加速度可得月球質量M_月=$\frac{g′{r}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，月球繞地球運動的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r，引力常量為G，月球的質量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

點評 萬有引力應用問題主要思路有：一星表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．