Question

如圖所示，質(zhì)量均為m的物體B．C分別于輕質(zhì)彈簧的兩端栓接，將它們放在傾角為30°的光滑斜面上，靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀．斜面底端有固定擋板D，物體C靠在擋板D上．將質(zhì)量也為m的物體A從斜面上的某點(diǎn)由靜止釋放，與B相碰．已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）若A與B相碰后粘連在一起開始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且A與B第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)擋板D的壓力恰好為0，求此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅；
（3）若將A從另一位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，C對(duì)擋板D的壓力也恰好為零．已知A與B相碰后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)B的速度大小為v=

1.5gx0

，求相碰后A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開始靜止釋放點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

（1）對(duì)B，由平衡條件，有：mgsinθ=kx₀，
解得：k=

mg

2x0

（2）設(shè)A與B一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量為x₁，則有：
2mgsinθ=kx₁，
設(shè)A與B第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)彈簧的伸長(zhǎng)量為x₂，則由題意有：
mgsinθ=kx₂，
所以此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A=x₁+x₂
解得：A=3x₀，
（3）設(shè)物體A釋放時(shí)A與B之間距離為x，A與B碰撞前物體A速度的大小為v₁，則有：
mgxsinθ=

1

2

m

v

21

，得v₁=

gx

設(shè)A與B相碰后兩物體共同的速度為v₂，對(duì)A與B發(fā)生碰撞的過程，有：mv₁=2mv₂，得：v₂=

1

2

v1
物體B靜止時(shí)彈簧的形變量為x₀，設(shè)彈性勢(shì)能為E_p，從A、B開始?jí)嚎s彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過程，有：

1

2

?2m

v

22

+EP=

1

2

?2mv2+2mgx0sinθ
當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B恰好分離，設(shè)分離后物體A還能沿斜面上升的距離為x₃．
對(duì)物體A，從與B分離到最高點(diǎn)的過程，有：

1

2

mv2=mgx₃sinθ
解得：x₃=1.5x₀；
對(duì)物體B、C和彈簧所組成的系統(tǒng)，物體B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為0，物體C恰好離開擋板D，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也為x₀，彈簧的彈性勢(shì)能也為E_P．從A、B分離到B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程，有

1

2

mv2=mgx₀sinθ+E_p；解得：
物體A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開始靜止釋放點(diǎn)之間的距離 d=x-x₀-x₁；
聯(lián)立以上各式解得：d=6.5x₀；
答：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k是

mg

2x0

；
（2）此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是3x₀；
（3）相碰后A第一次運(yùn)動(dòng)達(dá)到的最高點(diǎn)與開始靜止釋放點(diǎn)之間的距離是6.5x₀．