Question

如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對著放置，S₁、S₂分別為M、N板上的小孔，S₁、S₂、O三點(diǎn)共線，它們的連線垂直M、N，且S₂O＝R.以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場．D為收集板，板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線垂直M、N板．質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子經(jīng)S₁進(jìn)入M、N間的電場后，通過S₂進(jìn)入磁場．粒子在S₁處的速度以及粒子所受的重力均不計(jì)．

(1)當(dāng)M、N間的電壓為U時(shí)，求粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度的大小v；

(2)若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求M、N間的電壓值U₀；

(3)當(dāng)M、N間的電壓不同時(shí)，粒子從S₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t會不同，求t的最小值．

Answer 1

 (1)粒子從S₁到達(dá)S₂的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得

qU＝mv²    ①

解得粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度的大小v＝  

(2)粒子進(jìn)入磁場后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

qvB＝m  ②

由①②得，加速電壓U與軌跡半徑r的關(guān)系為U＝

當(dāng)粒子打在收集板D的中點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑r₀＝R

對應(yīng)電壓U₀＝

(3)M、N間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度越大，粒子在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越短，同時(shí)在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會越短，出磁場后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短，所以當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對應(yīng)時(shí)間t最短．

根據(jù)幾何關(guān)系可以求得，對應(yīng)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑r＝R

由②得粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度的大小v＝＝

粒子在電場中經(jīng)歷的時(shí)間t₁＝＝

粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間t₂＝＝

粒子出磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t₃＝＝  

粒子從S₁到打在收集板D上經(jīng)歷的最短時(shí)間為t＝t₁＋t₂＋t₃＝…