Question

11．如圖所示，截面為直角梯形的固定平臺(tái)上有一位置可以移動(dòng)的光滑的四分之一圓弧軌道，軌道的半徑R=0.8m，圓弧最底點(diǎn)B點(diǎn)切線水平，在平臺(tái)的左側(cè)光滑斜面上，有一長度等于斜面長的輕彈簧放在斜面上，下端固定在斜面下端的擋板上，斜面的傾角為θ=37°．將四分之一圓弧軌道移到適當(dāng)?shù)奈恢�，讓一質(zhì)量為m=0.5kg的小球從圓弧軌道的最高點(diǎn)A由靜止釋放沿圓弧軌道滾下，從B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，剛好從斜面的頂端D與斜面無碰撞地壓在輕彈簧的上端，并將輕彈簧沿斜面向下最大壓縮了x₀=0.3m，重力加速度g=10m/s²．
（1）B點(diǎn)和D點(diǎn)到圓弧軌道底面左側(cè)C點(diǎn)的距離分別為多少？
（2）彈簧具有的最大彈性勢能為多少？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球滑到B點(diǎn)的速度．小球離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式，結(jié)合小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度平行于斜面，得到分速度的關(guān)系，聯(lián)立解答．
（2）對整個(gè)過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求彈簧具有的最大彈性勢能．

解答 解：（1）小球沿圓弧軌道滾下過程，由機(jī)械能守恒定律得
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
據(jù)題，小球剛好從斜面的頂端D與斜面無碰撞地壓在輕彈簧的上端，說明小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度與斜面平行向下，則有
  tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$
可得 v_y=v_Btan37°=4×$\frac{3}{4}$m/s=3m/s
設(shè)B點(diǎn)和D點(diǎn)到圓弧軌道底面左側(cè)C點(diǎn)的距離分別為h和s．
則 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{2×10}$=0.45m
由v_y=gt得 t=0.3s
因此有 x=v_Bt=4×0.3m/s=1.2m
（2）對整個(gè)過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
彈簧具有的最大彈性勢能為  E_p=mg（R+h+x₀sin37°）=0.5×10×（0.8+0.45+0.3×0.6）J=7.15J
答：
（1）B點(diǎn)和D點(diǎn)到圓弧軌道底面左側(cè)C點(diǎn)的距離分別為0.45m和1.2m．
（2）彈簧具有的最大彈性勢能為7.15J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，明確隱含的條件：D點(diǎn)的速度平行于斜面向下．