Question

19．丁肇中領導的反物質與暗物質太空探測計劃（AMS ）是人類探索世界的又一次飛躍．在該研究項目中將實驗主要裝置阿爾法磁譜儀安置于國際空間站．通過對粒子徑跡的測量，間接研究粒子的性質．現(xiàn)對裝置中的核心部件（桶狀永磁體）進行討論，如圖（甲）所示，設桶狀永磁體內分布有沿y軸正方向的勻強磁場，磁感應強度大小為B，而桶外幾乎無磁場．內桶半徑為R，桶長足夠長．有一質量為m、電量為+e的反電子從xoy平面（z軸沿桶向下）打入桶中，忽略地磁場與各類摩擦影響，不計各粒子間相互作用．

（1）若反電子垂直于xoy平面從O點打入桶中，反電子所受洛侖茲力的方向；
（2）若從O點打入的反電子方向在xoz平面內且與z軸成α角，如圖（乙）所示，要使反電子能打在桶壁，則反電子的速率；
（3）當打到桶壁的反電子垂直于桶壁方向的速度大于速度v₀（已知）時，才能被明顯地觀測到，如圖（丙）所示，有一反電子垂直于xoy平面，從x軸上的P點打入，最后打在桶壁上的Q點（圖中未畫出）．P點在x軸上的坐標值為b-R，Q點在z軸上的坐標值為s，若Q點為明顯的觀測點，則入射速度v以及b、s與v₀之間應滿足什么關系？

Answer 1

分析 （1）根據左手定則判斷反電子所受洛倫茲力方向；
（2）反電子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由幾何關系得到半徑滿足的條件，即反電子的可求出速率；
（3）根據題意求出粒子運動軌道半徑，粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出v以及b、s與v₀之間的關系．

解答 解：（1）根據左手定則判斷：反電子所受洛倫茲力方向：沿x軸負方向；
（2）反電子在勻強磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
由幾何關系得：R≤r+rcosα，
解得：$v≥\frac{eBR}{m（1+cosα）}$；
（3）當b≤s時，由幾何關系：${r}_{\;}^{2}={s}_{\;}^{2}+（r-b）_{\;}^{2}$
解得：$r=\frac{{s}_{\;}^{2}+_{\;}^{2}}{2b}$，
要求粒子垂直于筒壁方向速度大于已知速度${v}_{0}^{\;}$
即：$vcosα＞{v}_{0}^{\;}$，
又因為：$cosα=\frac{s}{r}=\frac{2bs}{_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}$
所以$\frac{2bsv}{_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$
當b＞s時，由幾何關系：${r}_{\;}^{2}={s}_{\;}^{2}+（b-r）_{\;}^{2}$
所以：$r=\frac{{s}_{\;}^{2}+_{\;}^{2}}{2b}$
要求粒子垂直于筒壁方向速度大于已知速度${v}_{0}^{\;}$
即：$vcosα＞{v}_{0}^{\;}$
又因為：$cosα=\frac{s}{r}=\frac{2bs}{_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}$
所以：$\frac{2bsv}{_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$，
當b=s時，則r=b=s，$v＞{v}_{0}^{\;}$；
答：（1）若反電子垂直于xoy平面從O點打入桶中，反電子所受洛侖茲力的方向：沿x軸負方向；
（2）要使反電子能打在桶壁，則反電子的速率為：$v≥\frac{eBR}{m（1+cosα）}$；
（3）入射速度v以及b、s與v₀之間應滿足什么關系為：①當b≤s時，$\frac{2bsv}{_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$；②當b＞s時，$\frac{2bsv}{_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$；③當b=s時，$v＞{v}_{0}^{\;}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，認真審題理解題意、分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵，應用左手定則、知道洛倫茲力提供向心力應用牛頓第二定律可以解題；要掌握處理帶電粒子在磁場中運動的方法．