Question

（2011?吉安模擬）2007年10月24日，中國(guó)首顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道．隨后，“嫦娥一號(hào)”經(jīng)過(guò)變軌和制動(dòng)成功進(jìn)入環(huán)月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)暫短的點(diǎn)火變速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在到達(dá)軌道Ⅱ近月點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火變速，進(jìn)入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，引力常量為G．不考慮其它星體對(duì)飛船的影響，求：
（1）飛船在軌道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．
（2）飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)周期．
（3）飛船從軌道Ⅱ上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，分析飛船環(huán)月運(yùn)行時(shí)的線速度、周期、向心加速度跟半徑存在什么關(guān)系．本題先考慮飛船為何繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后用萬(wàn)有引力提供向心力列方程求飛船周期，再利用開普勒第三定律求時(shí)間．

解答：解：（1）在軌道I有G

Mm

(4R)2

=m

v 2 1

4R

          （1）
在軌道II上有G

Mm

R2

=m

v 2 m

R

                  （2）
（1）÷（2）得：

v1

vm

=

1

2

（2）設(shè)飛船在軌道I上的運(yùn)動(dòng)周期為T₁，在軌道I有
G

Mm

(4R)2

=m

4π2

T 2 1

4R                （3）
在月球表面有 G

Mm

R2

=mg1        （4）
聯(lián)立（3）（4）解得：T1=16π

R g1

    （5）
（3）設(shè)飛船在軌道II上的運(yùn)動(dòng)周期T₂，軌道II的半長(zhǎng)軸為2.5R，根據(jù)開普勒定律得

T 2 2

(2.5R)3

=

T 2 1

(4R)3

                  （6）
由（5）（6）可解得：T2=7.9π

R g1

飛船從A到B的飛行時(shí)間為t=

T2

2

=4π

R g1

答：（1）飛船在軌道Ⅰ、Ⅲ的速度之比為1：2；
（2）飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)周期T1=16π

R g1

；
（3）飛船從軌道Ⅱ上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間=4π

R g1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，開普勒定律的應(yīng)用．同時(shí)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式計(jì)算．