Question

如圖所示，在距水平地面高h₁＝1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m＝1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存了一定量的彈性勢(shì)能E_p�，F(xiàn)打開(kāi)鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度v₁向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC。已知B點(diǎn)距水平地面的高h₂＝0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺(tái)面等高，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長(zhǎng)為L＝2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊的豎直墻壁會(huì)發(fā)生碰撞，重力加速度g＝10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)。試求：

（1）小物塊由A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

（2）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p.

（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话�，且只�?huì)發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件.

Answer 1

⑴小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，

小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：t＝＝s≈0.346s                （2分）

⑵根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，h₂＝h₁（1－cos∠BOC），解得：∠BOC＝60°        （1分）

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：tan60°＝，  解得：v₁＝2m/s                （2分）

根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，原來(lái)壓縮的彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為：E_p＝mv₁²＝2J  （1分）

⑶依據(jù)題意知，①μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據(jù)能量關(guān)系有：

mgh₁＋E_p＞μmgL   代入數(shù)據(jù)解得：μ＜                           （2分）

②對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：mgh₁＋E_p＝μmgL＋mv₂²

第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC＝mv₂²－μmgL  可知即使μ＝0，有：

mv₂²＝14J    mv₂²＝3.5J＜mgh₂＝6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)      （2分）

故μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：mv₂²≤2μmgL，  聯(lián)立解得：μ≥                              （1分）

綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值：≤μ＜  （1分）