Question

10．現(xiàn)要通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律．實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示：水平桌面上固定一傾斜的氣墊導(dǎo)軌；導(dǎo)軌上A點(diǎn)處有一帶長方形遮光片的滑塊，其總質(zhì)量為M，左端由跨過輕質(zhì)光滑定滑輪的細(xì)繩與一質(zhì)量為m的砝碼相連；遮光片兩條長邊與導(dǎo)軌垂直；導(dǎo)軌上的B點(diǎn)有一光電門，可以測(cè)量遮光片經(jīng)過光電門時(shí)的擋光時(shí)間t．用d表示A點(diǎn)到導(dǎo)軌底端C點(diǎn)的距離，h表示A與C的高度差，b表示遮光片的寬度，x表示A、B兩點(diǎn)間的距離，將遮光片通過光電門的平均速度看作滑塊通過B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度．用g表示重力加速度．完成下列填空和作圖：

（1）若將滑塊自A點(diǎn)由靜止釋放，則在滑塊從A運(yùn)動(dòng)至B的過程中，滑塊、遮光片與砝碼組成的系統(tǒng)重力勢(shì)能的減小量可表示為$\frac{（Mh-md）gx}ezalyrg$，動(dòng)能的增加量可表示為$\frac{（m+M）^{2}}{2{t}^{2}}$．若在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，$\frac{1}{{t}^{2}}$與x的關(guān)系式為$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}x$．
（2）多次改變光電門的位置，每次均令滑塊自同一點(diǎn)（A點(diǎn)）下滑，測(cè)量相應(yīng)的x與t值．結(jié)果如下表所示：

	1	2	3	4	5
x/（m）	0.600	0.800	1.000	1.200	1.400
t/（ms）	8.22	7.17	6.44	5.85	5.43
$\frac{1}{{t}^{2}}$/（×104 s-2）	1.48	1.95	2.41	2.92	3.39

以x為橫坐標(biāo)，$\frac{1}{{t}^{2}}$為縱坐標(biāo)，在圖2位置的坐標(biāo)紙中描出第1和第5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；根據(jù)5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作直線，求得該直線的斜率k=2.40×10⁴ m^-1•s^-2（保留三位有效數(shù)字）．
（3）由測(cè)得的h、d、b、M和m數(shù)值可以計(jì)算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-x直線的斜率k₀，將k和k₀進(jìn)行比較，若其差值在實(shí)驗(yàn)允許的范圍內(nèi)，則可認(rèn)為此實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律．

Answer 1

分析 本題的關(guān)鍵是滑塊和砝碼組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，在求系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能時(shí)注意砝碼的重力勢(shì)能增加了mgs，滑塊和砝碼的速度大小相等，可求出系統(tǒng)增加的動(dòng)能，然后根據(jù)機(jī)械能守恒可得出$\frac{1}{{t}^{2}}$與s的關(guān)系式，再討論即可，根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出圖象，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出斜率．

解答 解：（1）當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)下降高度設(shè)為h′，此時(shí)砝碼上升的高度為x，由幾何關(guān)系可知h′=$\frac{hx}ynjfkr2$，故系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能為：
△E_p=Mgh′-mgx=$\frac{（Mh-md）gx}xz8sl0b$．
由于系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度v_B=$\frac{t}$，故動(dòng)能的增加量為：
△E_k=$\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{B}^{2}$=$\frac{（m+M）^{2}}{2{t}^{2}}$．
由△E_p=△E_k
可解得：$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}x$
（2）描點(diǎn)及作直線見圖．在圖中直線上取相距較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，讀出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由k=$\frac{△（\frac{1}{{t}^{2}}）}{△x}$可得：
k=2.40×10⁴ m^-1•s^-2．
（3）由測(cè)得的h、d、b、M和m數(shù)值可以計(jì)算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-x直線的斜率k_o=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}$
比較k與k_o，若其差值在試驗(yàn)允許的范圍內(nèi)，則可認(rèn)為此試驗(yàn)驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律．
故答案為：（1）$\frac{（Mh-md）gx}mhkop8h$，$\frac{（m+M）^{2}}{2{t}^{2}}$，$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}x$；（2）2.40

點(diǎn)評(píng) 求解實(shí)驗(yàn)題的關(guān)鍵是正確利用物理規(guī)律列出方程，然后再求解即可，注意本實(shí)驗(yàn)屬于滑塊和砝碼組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；求斜率時(shí)要注意單位和有效數(shù)字的保留．