Question

3．某同學(xué)利用如圖裝置探究均勻規(guī)則定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：長(zhǎng)為L(zhǎng)傾角30°的光滑斜面固定在桌角，質(zhì)量為2m的小物體A與質(zhì)量為m_B的小物體B用長(zhǎng)輕繩繞過(guò)半徑R的定滑輪連接，A與滑輪之間的繩子與斜面平行．將A從斜面頂端靜止釋放，測(cè)得到達(dá)斜面底端時(shí)的速度v．減小定滑輪質(zhì)量M（不改變大小尺寸）重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到多組v和M的值如表格所示．已知L、g、m、R，不計(jì)滑輪轉(zhuǎn)軸處摩擦，繩與滑輪不打滑．

M	$\frac{1}{{v}^{2}}$
m	$\frac{30}{10gL}$
0.8m	$\frac{29}{10gL}$
0.6m	$\frac{28}{10gL}$
0.4m	$\frac{27}{10gL}$
0.2m	$\frac{26}{10gL}$

（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M圖線；
（2）對(duì)圖象做合理推廣，據(jù)此求出m_B；
（3）若滑輪質(zhì)量為m，以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，寫(xiě)出它的動(dòng)能表達(dá)式（用m、R、ω表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，運(yùn)用描點(diǎn)法作圖．
（2）根據(jù)圖象的截距和斜率的意義，求出滑輪質(zhì)量不計(jì)時(shí)的速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求m_B．
（3）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出A到達(dá)斜面底端時(shí)的速度，再得到滑輪的動(dòng)能表達(dá)式．

解答 解：（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M圖線如圖所示．
（2）圖象的截距為$\frac{25}{10gL}$，它表示滑輪不計(jì)質(zhì)量時(shí)，速度平方的倒數(shù)，即
  $\frac{1}{{v}^{2}}$=$\frac{25}{10gL}$
所以當(dāng)滑輪的質(zhì)量不計(jì)時(shí)，v=$\sqrt{\frac{10gL}{25}}$
考慮A在斜面上的運(yùn)動(dòng)，并不計(jì)滑輪質(zhì)量，有
  2mg$\frac{L}{2}$-m_BhL=$\frac{1}{2}（2m+{m}_{B}）{v}^{2}$
所以 m_B=0.5m
（3）當(dāng)滑輪質(zhì)量為m時(shí)，$\frac{1}{{v}^{2}}$=$\frac{30}{10gL}$，即 v=$\sqrt{\frac{10gL}{30}}$
設(shè)A到達(dá)斜面底端時(shí)速度為v，此時(shí)滑輪動(dòng)能為E_k．則根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
  2mg$\frac{L}{2}$-（$\frac{1}{2}$m）hL=$\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$+E_k；
所以 E_k=$\frac{1}{2}m$gL-$\frac{5}{4}m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}^{2}$
而 v=Rω
解得 E_k=$\frac{1}{4}$mR²ω²．
答：
（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M圖線如圖所示；
（2）對(duì)圖象做合理推廣，得到m_B為0.5m；
（3）若滑輪質(zhì)量為m，以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能表達(dá)式為E_k=$\frac{1}{4}$mR²ω²．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握?qǐng)D象的信息，抓住截距和斜率的意義，合理進(jìn)行外推，并結(jié)合機(jī)械能守恒定律研究．