Question

2．我國(guó)于2010年啟動(dòng)探月計(jì)劃--“嫦娥工程”，同學(xué)們也對(duì)月球有了更多的關(guān)注．若已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合周期的大小求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．

解答 解：（1）地球表面的物體所受的萬(wàn)有引力等于物體重力，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要推論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．