Question

1．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，圓環(huán)剪去了左上角120°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離是h=2.4m，小物塊的質(zhì)量為m=0.4kg，當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，小物塊靜止于B點(diǎn)，現(xiàn)對(duì)小物塊施加一個(gè)外力F，使它緩慢移動(dòng)，將彈簧壓縮到C點(diǎn)，在這一過(guò)程中，克服摩擦力做功為0.4J，所用外力F與壓縮量的關(guān)系如圖乙所示，然后撤去F釋放小物塊，讓小物塊沿粗糙水平桌面運(yùn)動(dòng)，從D飛離桌面后恰好由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²）求：

（1）在壓縮彈簧過(guò)程中，彈簧存貯的最大彈性勢(shì)能；
（2）小物塊由C經(jīng)過(guò)D過(guò)程中，克服摩擦力做的功；
（3）為使小物塊能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)M，求軌道半徑的最大值R．

Answer 1

分析 （1）由圖乙讀出小物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力大小，由克服摩擦力做功為0.4J，求出BC間的距離，由圖乙的“面積”求出外力所做的功，由功能關(guān)系求出最大彈性勢(shì)能．
（2）小物塊離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度求出物塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的豎直分速度，由速度的分解求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，即為物塊離開(kāi)桌面的速度．再研究物塊從C運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程，由功能關(guān)系求克服摩擦力做的功．
（3）小物塊恰好能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)M時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，再由P到B的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求軌道半徑的最大值．

解答 解：（1）由圖乙知：x=0時(shí)，F(xiàn)₀=1N，所以小物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力大小 f=F₀=1N
設(shè)CB間的距離為x．由題有：W_f=fx
得 x=$\frac{{W}_{f}}{f}$=$\frac{0.4}{1}$=0.4m
由圖乙知，當(dāng)x=0.4m，F(xiàn)=93N
根據(jù)F-x圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積表示F做功，可得，外力F做的功為 W=$\frac{1+93}{2}×0.4$J=18.8J
根據(jù)功能關(guān)系可得，彈簧存貯的最大彈性勢(shì)能 E_p=W-W_f=18.8-0.4=18.4J
（2）小物塊離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)豎直分速度 v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×2.4}$=6$\sqrt{3}$m/s
由速度的分解可得，物塊離開(kāi)桌面的速度 v_D=v_ycot60°=6m/s
物塊從C運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程，由功能關(guān)系得：E_p=W_f′+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得克服摩擦力做的功 W_f′=7.2J
（3）物塊經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度  v_P=$\frac{{v}_{y}}{sin60°}$=12m/s
小物塊恰好能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)M時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
  mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
從P到M的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
  mgR（1+cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$
聯(lián)立解得 R=$\frac{{v}_{P}^{2}}{3g}$=$\frac{1{2}^{2}}{30}$m=4.8m
所以軌道半徑的最大值R是4.8m．
答：（1）在壓縮彈簧過(guò)程中，彈簧存貯的最大彈性勢(shì)能是18.4J；
（2）小物塊由C經(jīng)過(guò)D過(guò)程中，克服摩擦力做的功是7.2J；
（3）為使小物塊能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)M，軌道半徑的最大值R是4.8m．

點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵要研究圖象的物理意義，知道x=0時(shí)f=F，得到摩擦力的大�。�知道圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積表示外力做的功，要注意分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找清各物理量之間的關(guān)系，然后根據(jù)各運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答即可．