Question

19．如圖所示，一質量為m的金屬桿MN，在豎直平面內貼著兩根足夠長的光滑金屬導軌下滑，導軌的間距為L，導軌上端接有阻值為R的電阻，導軌與金屬桿電阻不計，整個裝置處于磁感應強度大小為B的水平勻強磁場中，已知重力加速度為g．若金屬桿從導軌上某一位置靜止釋放，當下滑的高度為h時，速度達到最大值，整個過程空氣阻力不計，試求：
（1）金屬棒下滑時，通過電阻R的電流方向；
（2）金屬棒下滑的最大速度v_m多大；
（3）金屬棒下滑h的過程中，電路產生的電能E．

Answer 1

分析 （1）由右手定則判斷出MN中感應電流的方向然后判定流過R的電流方向；
（2）金屬棒先向下做加速度減小的加速運動，后做勻速運動，速度達到最大．根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式及平衡條件，求解最大速度的大�。�
（3）在下滑過程中，金屬棒的機械能減少轉化為內能和金屬棒的動能，根據能量守恒定律求解金屬棒中產生的電能．

解答 解：（1）根據楞次定律（或右手定則）可判斷，導體棒中的電流的方向由M向N，所以通過電阻R的電流方向為：由b經電阻R流向a（或寫成“b→a”）
（2）由法拉第電磁感應定律知，當金屬棒達到最大速度v_m時，產生的感應電動勢：E_m=BLv_m
由閉合電路歐姆定律得，電路中的感應電流：$I=\frac{E_m}{R}$．
金屬棒受到的安培力：F_安=BIL
此時金屬棒受力平衡，如圖所示，所受的安培力F_m與自身重力mg相等，即：F_安=mg．
聯立以上四式，可解得金屬棒下滑速度的最大值：${v_m}=\frac{mgR}{{{B^2}{L^2}}}$
（3）金屬棒下滑高度為h的過程中，根據能量守恒定律得：$mgh=\frac{1}{2}m{v_m}^2+E$
綜合（1）的結論，解得電路產生的電能：$E=mgh-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}$
答：（1）金屬棒下滑時，通過電阻R的電流方向是由b經電阻R流向a；
（2）金屬棒下滑的最大速度是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金屬棒下滑h的過程中，電路產生的電能是$mgh-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 金屬棒在運動過程中克服安培力做功，把金屬棒的動能轉化為焦耳熱，在此過程中金屬棒做加速度減小的減速運動；對棒進行受力分析、熟練應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律、動能定理等正確解題．