Question

如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置在水平地面上，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b以不同的速度進(jìn)入管內(nèi)，a通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管內(nèi)壁上側(cè)的壓力為3mg，b通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管內(nèi)壁下側(cè)的壓力為0.75mg，求：
（1）a、b兩球通過(guò)半圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小分別為多少？
（2）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離．
（3）a通過(guò)半圓管最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)管壁的壓力．

Answer 1

分析：（1）a球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)球的彈力方向向下，大小為3mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出a球在最高點(diǎn)速度．b球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)球的彈力方向向上，大小為0.75mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出a球在最高點(diǎn)速度．
（2）兩球從最高點(diǎn)飛出后均做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度2R求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由速度和初速度求解水平位移，a、b兩球落地點(diǎn)間的距離等于位移之差．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒算出a通過(guò)半圓管最低點(diǎn)B時(shí)的速度，根據(jù)向心力公式即可求得對(duì)管壁的壓力．

解答：解：（1）設(shè)a、b兩球通過(guò)半圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度分別為v_a、v_b，由園周運(yùn)動(dòng)知識(shí)
對(duì)a球  3mg+mg=m

va2

R

  
 va=2

gR

  
對(duì)b球  mg-0.75mg=m

vb2

R

vb=0.5

gR

（2）a、b兩球通過(guò)半圓管最高點(diǎn)A后，做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，落地間后的間距為△x
2R=

1

2

gt2     
△x=v_at-v_bt     
解得△x=3R       
（3）小球a從B到A機(jī)械能守恒，設(shè)a通過(guò)半圓管最低點(diǎn)B時(shí)的速度為v_AB，

1

2

mva2+2mgR=

1

2

mvAB2     
 vAB=

8gR

   
設(shè)在B點(diǎn)軌道對(duì)a球的作用力為F
F-mg=m

vAB2

R

F=9mg  
由牛頓第三定律可知，小球a對(duì)管壁的壓力
F′=9mg    方向向下     
答：（1）a、b兩球通過(guò)半圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小分別為va=2

gR

、vb=0.5

gR

；（2）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離為3R．
（3）a通過(guò)半圓管最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)管壁的壓力為9mg，方向向下．

點(diǎn)評(píng)：本題是向心力知識(shí)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用，常規(guī)題，考試時(shí)不能失誤．