Question

20．如圖所示，LMN是豎直平面內(nèi)固定的光滑軌道，MN水平且足夠長，LM下端與MN相切，質(zhì)量為m₂的小球B靜止在水平軌道上，質(zhì)量為m₁的小球A從LM上距水平軌道高為h處由靜止釋放，A球進(jìn)人水平軌道后，與B球發(fā)生彈性碰撞．兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，已知重力加速度為g．要使A、B兩球至少發(fā)生兩次碰撞，m₁與m₂應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

Answer 1

分析 要使A、B兩球至少發(fā)生兩次碰撞，第一次碰撞后A球的速度大小必須大于B球的速度，根據(jù)彈性碰撞過程動(dòng)量守恒和能量守恒列式求解．

解答 解：設(shè)A球與B球第一次碰撞前速度為v₀，碰撞后A球和B球的速度分別為v_A和v_B．
A球從LM軌道上下滑的過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：v₀=$\sqrt{2gh}$
對于A、B碰撞的過程，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
m₁v₀=m₁v_A+m₂v_B
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
解得：v_A=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀，v_B=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀；
要使A、B兩球至少發(fā)生兩次碰撞，第一次碰撞后A球反向彈回，且A球的速度大小必須大于B球的速度．則有
 v_A＜0，且，|v_A|＞v_B，
聯(lián)立解得：m₁＜$\frac{1}{3}$m₂．
答：要使A、B兩球至少發(fā)生兩次碰撞，m₁與m₂應(yīng)滿足的關(guān)系為m₁＜$\frac{1}{3}$m₂．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要掌握彈性碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒和能量守恒，明確臨界條件，運(yùn)用不等式法研究．