Question

9．如圖所示，BC是半徑為R的豎直面內(nèi)的圓弧軌道，末端C在圓心O的正下方且與靜止在光滑水平地面上質(zhì)量也為m的小車上表面相切，∠BOC=60°，現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球，從與O等高的A點水平拋出，小球恰好從B點沿圓弧切線方向進入圓軌道，由于摩擦力的作用小球在圓弧軌道做勻速圓周運動，經(jīng)過C點滑上小車，小車與圓弧軌道無相互作用．已知小球與小車間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，求：
（1）小球在A點水平拋出的速度v₀和A、B兩點間的距離S₁；
（2）小球在畫弧軌道上運動時克服摩擦力所做的功W_克和經(jīng)過C點時對軌道的壓力大小F_壓；
（3）為了使小球不會滑離小車，小車的長度L至少為多少．

Answer 1

分析 （1）小球進入軌道前做平拋運動，應(yīng)用平拋運動規(guī)律可以求出小球的初速度、小球的水平與豎直位移，從而求出A、B兩點的距離；
（2）由牛頓第二定律與牛頓第三定律可以求出小球?qū)︓壍赖膲毫Γ赡芰渴睾愣煽傻眯∏蚩朔Σ亮ψ龅墓Φ扔谥亓ψ龅墓Γ?br />（3）由動量守恒定律和功能關(guān)系可求小車的至少為多長．

解答 解：（1）小球做從A到B做平拋運動，在B點，小球速度方向偏角θ=60°，
則tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，v_y=gt
豎直方向的位移：y=Rcos60°=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向的位移x=v₀t
聯(lián)立解得：v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{3}$；x=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
則A、B兩點的距離x_AB=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{12}R}$，
（2）在B點時小球的速度v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$
球從B到C做勻速圓周運動，則由能量守恒定律可知，小球克服摩擦力做的功等于重力做的功：W_克=W_G=mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mgR；
在C點由牛頓第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入解得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{7}{3}$mg
由作用力和反作用力可知，經(jīng)過C點時對軌道的壓力大小為$\frac{7}{3}$mg；
（3）小球滑上小車后，當(dāng)兩者速度相同時，一起做勻速運動，以兩則為系統(tǒng)，動量守恒，以水平向右為正方向，
由動量守恒可得：mv=（m+m）v_共
由功能關(guān)系可得：μmgL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$•2mv_共²
聯(lián)立解得：L=$\frac{R}{3μ}$．
即為了使小球不會滑離小車，小車的長度L至少為$\frac{R}{3μ}$．
答：（1）小球在A點水平拋出的速度為$\frac{\sqrt{3gR}}{3}$；A、B兩點間的距離為$\sqrt{\frac{7}{12}R}$；
（2）小球在畫弧軌道上運動時克服摩擦力所做的功為$\frac{1}{2}$mgR；經(jīng)過C點時對軌道的壓力大小為$\frac{7}{3}$mg；
（3）小車的長度L至少為$\frac{R}{3μ}$．

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動，分析清楚小球運動過程、應(yīng)用運動的合成與分解、運動學(xué)公式、牛頓第二定律即可正確解題．注意第三問運用動量守恒定律和功能關(guān)系相結(jié)合求解較為簡捷．