Question

相距為L(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌與水平面成θ角放置，上端連電阻R，處在與所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，電阻為r的導(dǎo)體MN（質(zhì)量m）垂直導(dǎo)軌并在兩導(dǎo)軌上，導(dǎo)體MN距離上端電阻R的距離也為L(zhǎng)．（設(shè)B₀=1T，L=1m，θ=30°，m=0.1kg，R=0.8Ω，r=0.2Ω，g=10m/s²．）
（1）靜止釋放導(dǎo)體MN，求：
①M(fèi)N獲得的最大速度v_m．
②若MN沿斜面下滑0.2m時(shí)恰好獲得最大速度，求在此過程中回路一共生熱多少焦？
（2）設(shè)單位時(shí)間內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加量為k，磁感應(yīng)強(qiáng)度初始值為B₀．現(xiàn)給一個(gè)平行斜面且垂直MN的外力（設(shè)沿斜面向上為外力的正方向），使導(dǎo)體MN始終靜止在軌道上．寫出外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式并畫出F（沿斜面向上為正）隨時(shí)間t的函數(shù)圖象（k=1T/s）．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體MN由靜止釋放，沿導(dǎo)軌向下做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體MN所受合力為零時(shí)，導(dǎo)體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大，對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行受力分析，由平衡條件求出導(dǎo)體獲得的最大速度；導(dǎo)體克服安培力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能量守恒定律可以求出回路產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，由F=BIL求出安培力大小，由楞次定律判斷出感應(yīng)電流方向，由左手定值判斷出安培力的方向，對(duì)導(dǎo)體受力分析，由平衡條件列方程求出拉力大小，然后作出圖象．

解答：解：（1）①導(dǎo)體受力如圖1所示，
安培力F_安=B₀IL=B₀

B0Lv

R+r

L=

B 2 0 L2v

R+r

，
導(dǎo)體MN由靜止開始向下做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體所受合力為零時(shí)，速度達(dá)到最大v_m，由平衡條件得：mgsin30°=

B 2 0 L2vm

R+r

，
最大速度v_m=

mg(R+r)sin30°

B 2 0 L2

=0.5m/s；
②由能量守恒定律得：mgxsin30°=

1

2

mv_m²+Q，解得：Q=0.0875J；
（2）由題意知B=B₀+kt，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
E=

△Φ

△t

=S

△B

△t

=kL²
安培力：F_安′=BIL=B

E

R+r

L=

kBL3

R+r

，
導(dǎo)體受力如圖2所受，由平衡條件得：
mgsin30°+F=

kBL3

R+r

，F(xiàn)平行于斜面向下，
則：F=

kBL3

R+r

-mgsin30°=

k(B0+kt)L3

R+r

-mgsin30°，
平行于斜面向上為正方向，F(xiàn)平行于斜面向下，是負(fù)的，
F-t圖象如圖所示．
答：（1）①M(fèi)N獲得的最大速度v_m=0.5m/s；
②若MN沿斜面下滑0.2m時(shí)恰好獲得最大速度，在此過程中回路產(chǎn)生的熱量為0.0875J．
（2）外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式為：則F=

k(B0+kt)L3

R+r

-mgsin30°；F-t圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：在導(dǎo)體MN沿軌道下滑時(shí)，導(dǎo)體受到的安培力是變力，當(dāng)安培力達(dá)到等于重力沿斜面向下的分力時(shí)，導(dǎo)體導(dǎo)體受到的合力為零，導(dǎo)體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．