Question

4．如圖所示是某公園設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的娛樂設(shè)施，軌道除CD部分粗糙外，其余均光滑．一挑戰(zhàn)者質(zhì)量為m，沿斜面軌道滑下，無能量損失的滑入第一個(gè)圓管形軌道，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試挑戰(zhàn)者對(duì)軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來．挑戰(zhàn)者到達(dá)A處時(shí)剛好對(duì)管壁無壓力，又經(jīng)過水平軌道CD滑入第二個(gè)圓管形軌道，在最高點(diǎn)B處挑戰(zhàn)者對(duì)管的內(nèi)側(cè)壁壓力為0.5mg，然后從平臺(tái)上飛入水池內(nèi)．若第一個(gè)圓軌道的半徑為R，第二個(gè)管軌道的半徑為r，水面離軌道的距離為h=2.25r，管的內(nèi)徑及人的大小相對(duì)圓軌道的半徑可以忽略不計(jì)．則：

（1）挑戰(zhàn)者應(yīng)從離水平軌道多高的地方開始下滑；
（2）挑戰(zhàn)者從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服軌道阻力所做的功；
（3）挑戰(zhàn)者入水時(shí)距離水平軌道末端P點(diǎn)的水平位移．

Answer 1

分析 （1）抓住挑戰(zhàn)者在A點(diǎn)剛好對(duì)管壁無壓力，可以求出小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度大小，再?gòu)撵o止開始下滑到經(jīng)過A點(diǎn)的過程中只有重力對(duì)挑戰(zhàn)者做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得挑戰(zhàn)者下滑的高度h；
（2）同理抓住在B點(diǎn)對(duì)管壁壓力大小可以求得經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小，然后從A到B的過程中有重力做功和CD段的阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得克服阻力做功；
（3）挑戰(zhàn)者滑離平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可以求得入水時(shí)的水平位移．

解答 解：（1）挑戰(zhàn)者在A點(diǎn)對(duì)管壁無壓力，則挑戰(zhàn)者僅受重力作用，根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
可得挑戰(zhàn)者在A點(diǎn)的速度為：v_A=$\sqrt{gR}$；
設(shè)挑戰(zhàn)者從離水平軌道高為H處開始下滑，從靜止開始到A點(diǎn)只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
可得：H=$\frac{5}{2}R$．
（2）因?yàn)樘魬?zhàn)者在B點(diǎn)對(duì)管的內(nèi)側(cè)壁壓力為0.5mg，故滿足：mg-N_B=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$，
可得：v_B=$\sqrt{0.5gr}$；
又因?yàn)樘魬?zhàn)者從A滑至B點(diǎn)過程中只有重力做功和阻力在CD段做功，
根據(jù)動(dòng)能定理有：mg（2R-2r）-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
所以有：W_f克=$\frac{5gR}{2}-\frac{9gr}{4}$；
（3）挑戰(zhàn)者從B到D的過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：mg•2r=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，
可得：v_D=$\sqrt{4.5gr}$；
挑戰(zhàn)者平拋運(yùn)動(dòng)的速度與D點(diǎn)速度相等，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{4.5r}{g}}$，
所以水平位移為：x=v_Dt=4.5r．
答：（1）挑戰(zhàn)者應(yīng)從離水平軌道$\frac{5}{2}R$的地方開始下滑；
（2）挑戰(zhàn)者從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服軌道阻力所做的功為$\frac{5gR}{2}-\frac{9gr}{4}$；
（3）挑戰(zhàn)者入水時(shí)距離水平軌道末端P點(diǎn)的水平位移為4.5r．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了動(dòng)能定理；運(yùn)用動(dòng)能定理解題時(shí)，首先要選取研究過程，然后分析在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中哪些力做正功、哪些力做負(fù)功，初末動(dòng)能為多少，根據(jù)動(dòng)能定理列方程解答；動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)；一個(gè)題目可能需要選擇不同的過程多次運(yùn)用動(dòng)能定理研究，也可以全過程根據(jù)動(dòng)能定理解答．