Question

13．過山車是一項富有刺激性的娛樂設(shè)施，那種風(fēng)馳電掣有驚無險的快感令不少人著迷．設(shè)計者通過“受力因子”來衡量作用于游客身上的力，“受力因子”等于座椅施加給游客的力除以游客自身的重力，可以利用座椅上的傳感器記錄數(shù)值．如圖所示為某過山車簡化原理圖：左邊是裝有彈射系統(tǒng)的彈射區(qū)，中間是作為娛樂主體的回旋區(qū)，右邊是軌道末端的制動區(qū)．已知大回環(huán)軌道半徑R=l0m，A、B為大回環(huán)軌道的最低和最高點，C為緩沖軌道的最高點，與大回環(huán)圓心O等高，重力加速度g取10m/s²．
（1）假設(shè)除制動區(qū)外，軌道各處都是光滑的．為使連同游客總質(zhì)量M=2×10³kg的過山車順利通過大回環(huán)軌道，彈射裝置至少應(yīng)提供多大的彈性勢能？為保證安全，C點所在圓弧軌道半徑至少多大？
（2）實際上軌道各處都有摩擦，某位質(zhì)量m=72kg的游客乘過山車運動過程中，在軌道A處時“受力因子”顯示為7，在軌道B處時“受力因子”顯示為0.5，求該游客從A到B過程損失的機械能．

Answer 1

分析 （1）在軌道最高點處，重力恰好等于向心力，根據(jù)向心力公式可求得速度；再對到達最高點過程根據(jù)機械能守恒定律可求彈射裝置彈性勢能的最小值；再對BC過程根據(jù)機械能守恒定律可求得C點的速度；則可由向心力公式求得C點的速度；
（2）在軌道A處，根據(jù)向心力公式可求得速度；同理對軌道2處由向心力公式列式，再根據(jù)功能關(guān)系即可求出損失的機械能．

解答 解：（1）在軌道最高點B，過山車重力提供向心力，有：$Mg=M\frac{v^2}{R}$
從開始彈射到小車運動到最高點B，由機械能守恒定律，彈射裝置彈性勢能最小值為：${E}_{p}=\frac{1}{2}M{v}^{2}+2MgR=\frac{5}{2}MgR=\frac{5}{2}×2×1{0}^{3}×10×10=5×1{0}^{5}J$
從B到C，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}M{v^2}+MgR=\frac{1}{2}M{v'^2}$
在C點，過山車重力提供向心力為：$Mg=M\frac{{{{v'}^2}}}{R'}$
解得C點半徑至少為：$R'=\frac{{{{v'}^2}}}{g}=3R=30m$
（2）在軌道A處，有：${F_{N1}}-mg=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
在軌道B處，有：${F_{N2}}+mg=m\frac{{{v_2}^2}}{R}$
從A到B，損失的機械能為：$△E=\frac{1}{2}m{v_1}^2-（\frac{1}{2}m{v_2}^2+2mgR）$
聯(lián)立解得：△E=1.8×10³J
答：（1）C點所在圓弧軌道半徑至少為30m；
（2）該游客從A到B過程損失的機械能為1.8×10³J

點評 本題考查機械能守恒定律以及向心力公式的應(yīng)用，要注意正確選擇物理過程，做好受力分析，從而選擇正確的物理規(guī)律求解即可．