Question

2．如圖所示，水平軌道左端與長L=1.25m的水平傳送帶相接，傳送帶逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)的速度υ₀=1m/s．輕彈簧右端固定在光滑水平軌道上，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)左端恰位于A點(diǎn)．現(xiàn)用質(zhì)量m=0.1kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮后由靜止釋放，到達(dá)水平傳送帶左端B點(diǎn)后，立即沿切線進(jìn)入豎直固定的光滑半圓軌道最高點(diǎn)并恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)圓周最低點(diǎn)C后滑上質(zhì)量為M=0.9kg的長木板且不會(huì)從木板上掉下．豎直半圓軌道的半徑R=0.4m，物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.8，物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.25，g取10m/s²．求：
（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度υ_B的大��；
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_p；
（3）若長木板與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)0≤μ₃≤0.025時(shí)，要使小物塊恰好不會(huì)從長木板上掉下，木板長度的范圍是多少．

Answer 1

分析 （1）據(jù)物體在B點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由重力充當(dāng)向心力，利用牛頓第二定律列方程求解．
（2）抓住物塊在B點(diǎn)的速度大于傳送帶的速度，可知物塊在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合能量守恒定律求出彈簧的彈性勢(shì)能．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)的速度，討論μ₃=0，μ₃=0.025時(shí)，通過動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系，以及動(dòng)能定理求出木板的長度，從而得出木板長度的范圍．

解答 解：（1）物體在光滑半圓軌道最高點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ①
可得 v_B=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s ②
（2）物塊被彈簧彈出的過程中，物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則
彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ ③
因v_B＞v₀=1m/s，則物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)
物塊在傳送帶上滑行過程由動(dòng)能定理得
-f₁L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ ④
又 f₁=μ₁mg=0.8×0.1×10N=0.8N ⑤
聯(lián)立②③④⑤解得：E_p=1.2J
（3）物塊從B到C過程中由機(jī)械能守恒定律得
  mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ ⑥
聯(lián)立②⑥解得：v_C=$\sqrt{{v}_{B}^{2}+4gR}$=2$\sqrt{5}$m/s ⑦
討論：Ⅰ．當(dāng)μ₃=0時(shí)，小物塊恰好不會(huì)從長木板上掉下長度為s₁，
小物塊和長木板共速為v，由動(dòng)量守恒定律：mv_C=（M+m）v ⑧
由功能關(guān)系：μ₂mgs₁=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²   ⑨
代入數(shù)據(jù)解得s₁=3.6m（10）
Ⅱ．當(dāng)μ₃=0.025時(shí)，小物塊恰好不會(huì)從長木板上掉下長度為s₂，
物塊在長木板上滑行過程中，對(duì)長木板受力分析：
上表面受到的摩擦力f₂=μ₂mg=0.25×0.1×10N=0.25N （11）
下表面受到的摩擦力f₃=μ₃（M+m）g=0.25N=f₂ （12）
所以長木板靜止不動(dòng)
對(duì)物塊在長木板上滑行過程由動(dòng)能定理得：
-f₂s₂=0-$\frac{1}{2}$mv_C²   （13）
代入數(shù)據(jù)解得s₂=4m（14）
所以木板長度的范圍是 3.6m≤s≤4m（15）
答：
（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度υ_B的大小為2m/s；
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_p是1.2J．
（3）木板長度的范圍是 3.6m≤s≤4m．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的關(guān)鍵，據(jù)受力情況判斷滑塊的運(yùn)動(dòng)是解題的核心，靈活利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理和能量守恒定律，動(dòng)量守恒定律進(jìn)行求解．