Question

6．在圖示區(qū)域中，X軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直紙面向里，大小為B，今有一質(zhì)子以速度v₀由Y軸上的A點(diǎn)沿Y軸正方向射入磁場(chǎng)，質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間以后從C點(diǎn)進(jìn)入X軸下方的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域中，在C點(diǎn)速度方向與X軸正方向夾角為45°，該勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度大小為E，方向與Y軸夾角為45°且斜向左上方，已知質(zhì)子的質(zhì)量為m，電量為q，不計(jì)質(zhì)子的重力，（磁場(chǎng)區(qū)域和電場(chǎng)區(qū)域足夠大）求：
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）質(zhì)子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越X軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）質(zhì)子第四次穿越X軸時(shí)速度的大小及速度方向與電場(chǎng)E方向的夾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得圓的半徑，再由幾何關(guān)系可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分析粒子第三次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程；由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度，從而求出其經(jīng)過(guò)的時(shí)間，在電場(chǎng)中粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由速度的合成與分解關(guān)系可求得電場(chǎng)中的時(shí)間，從而求得總時(shí)間；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)；再進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，此后進(jìn)入電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)的合成與分解可求得結(jié)果．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力；則有：
$q{v_0}B=\frac{mv_0^2}{R}$
R=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$；
由幾何關(guān)系可知：
x_C=-（R+Rcos45°）=-$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
得：C坐標(biāo)為：（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，0）
（2）帶電粒子在進(jìn)入電場(chǎng)后做減速運(yùn)動(dòng)，后原方向返回；然后再進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)；總時(shí)間包括磁場(chǎng)中的時(shí)間及電場(chǎng)中往返的時(shí)間；則有：
在磁場(chǎng)中$T=\frac{2πR}{v_0}$
$T=\frac{2πm}{qB}$
${t_磁}=\frac{{\frac{7}{4}π}}{2π}T=\frac{7πm}{4qB}$；
在電場(chǎng)中Eq=ma
${t_電}=\frac{{2{v_0}}}{a}=\frac{{2m{v_0}}}{qE}$
$t={t_電}+{t_磁}=\frac{{2m{v_0}}}{qE}+\frac{7πm}{4qB}$；
（3）質(zhì)子第三次穿越x軸后，在電場(chǎng)中作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由于v₀與x負(fù)方向成45．角，所以第四次穿越x軸時(shí)：
${v}_{0}{t}_{4}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}•{t}_{4}^{2}$
得：${t}_{4}=\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
沿電場(chǎng)方向速度的分量為：${v}_{E}=\frac{qE}{m}•{t}_{4}=2{v}_{0}$
所以，速度的大小為$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{E}^{2}}=\sqrt{5}{v}_{0}$
速度方向與電場(chǎng)E的夾角設(shè)為θ，如圖所示，則：$tanθ=\frac{{v}_{0}}{{v}_{E}}=\frac{1}{2}$
得：$θ=arctan\frac{1}{2}$
答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，0）．
（2）質(zhì)子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越X軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\frac{2m{v}_{0}}{qE}+\frac{7πm}{4qB}$．
（3）質(zhì)子第四次穿越X軸時(shí)速度的大小是$\sqrt{5}{v}_{0}$，速度方向與電場(chǎng)E方向的夾角的正切值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程很復(fù)雜，要注意認(rèn)真分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，分別利用電場(chǎng)及磁場(chǎng)中的性質(zhì)進(jìn)行分析運(yùn)動(dòng)；要注意幾何關(guān)系的正確應(yīng)用．