Question

6．在圖示區(qū)域中，X軸上方有一勻強磁場，磁感應強度的方向垂直紙面向里，大小為B，今有一質子以速度v₀由Y軸上的A點沿Y軸正方向射入磁場，質子在磁場中運動一段時間以后從C點進入X軸下方的勻強電場區(qū)域中，在C點速度方向與X軸正方向夾角為45°，該勻強電場的強度大小為E，方向與Y軸夾角為45°且斜向左上方，已知質子的質量為m，電量為q，不計質子的重力，（磁場區(qū)域和電場區(qū)域足夠大）求：
（1）C點的坐標．
（2）質子從A點出發(fā)到第三次穿越X軸時的運動時間．
（3）質子第四次穿越X軸時速度的大小及速度方向與電場E方向的夾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛侖茲力充當向心力可求得圓的半徑，再由幾何關系可得出C點的坐標；
（2）分析粒子第三次經過x軸時的運動過程；由幾何關系可知，粒子在磁場中轉過的角度，從而求出其經過的時間，在電場中粒子做類平拋運動，由速度的合成與分解關系可求得電場中的時間，從而求得總時間；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，第一次進入磁場時做往復運動；再進入磁場后做圓周運動，此后進入電場做類平拋運動，由幾何關系及運動的合成與分解可求得結果．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛侖茲力充當向心力；則有：
$q{v_0}B=\frac{mv_0^2}{R}$
R=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$；
由幾何關系可知：
x_C=-（R+Rcos45°）=-$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
得：C坐標為：（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，0）
（2）帶電粒子在進入電場后做減速運動，后原方向返回；然后再進入磁場后做圓周運動；總時間包括磁場中的時間及電場中往返的時間；則有：
在磁場中$T=\frac{2πR}{v_0}$
$T=\frac{2πm}{qB}$
${t_磁}=\frac{{\frac{7}{4}π}}{2π}T=\frac{7πm}{4qB}$；
在電場中Eq=ma
${t_電}=\frac{{2{v_0}}}{a}=\frac{{2m{v_0}}}{qE}$
$t={t_電}+{t_磁}=\frac{{2m{v_0}}}{qE}+\frac{7πm}{4qB}$；
（3）質子第三次穿越x軸后，在電場中作類平拋運動，由于v₀與x負方向成45．角，所以第四次穿越x軸時：
${v}_{0}{t}_{4}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}•{t}_{4}^{2}$
得：${t}_{4}=\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
沿電場方向速度的分量為：${v}_{E}=\frac{qE}{m}•{t}_{4}=2{v}_{0}$
所以，速度的大小為$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{E}^{2}}=\sqrt{5}{v}_{0}$
速度方向與電場E的夾角設為θ，如圖所示，則：$tanθ=\frac{{v}_{0}}{{v}_{E}}=\frac{1}{2}$
得：$θ=arctan\frac{1}{2}$
答：（1）C點的坐標為（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，0）．
（2）質子從A點出發(fā)到第三次穿越X軸時的運動時間是$\frac{2m{v}_{0}}{qE}+\frac{7πm}{4qB}$．
（3）質子第四次穿越X軸時速度的大小是$\sqrt{5}{v}_{0}$，速度方向與電場E方向的夾角的正切值是$\frac{1}{2}$．

點評 本題過程很復雜，要注意認真分析帶電粒子的運動情況，分別利用電場及磁場中的性質進行分析運動；要注意幾何關系的正確應用．