Question

13．“嫦娥四號(hào)”，專家稱“四號(hào)星”，計(jì)劃在2017年發(fā)射升空，它是嫦娥探月工程計(jì)劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更深層次、更加全面的科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，“嫦娥四號(hào)”離月球中心的距離為r，繞月周期為T．根據(jù)以上信息下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{GR}$
• B． “嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為$\sqrt{\frac{g{r}^{2}}{R}}$
• C． 萬(wàn)有引力常量可表示為$\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$
• D． “嫦娥四號(hào)”必須先加速運(yùn)動(dòng)離開月球再減速運(yùn)動(dòng)才能返回地球

Answer 1

分析 1、根據(jù)重力提供向心力$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度為$v=\sqrt{gR}$．
2、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．二式化簡(jiǎn)可得衛(wèi)星速度．
3、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，解得月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，變形可得萬(wàn)有引力常量．
4、嫦娥四號(hào)必須加速做離心運(yùn)動(dòng)才能脫離月球束縛返回地球．

解答 解：A、月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度，所以重力提供向心力$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{gR}$．故A正確．
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又因?yàn)樵虑虮砻娴奈矬w受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．
所以$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，所以萬(wàn)有引力常量為$G=\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$．故C正確．
D、嫦娥四號(hào)要脫離月球的束縛才能返回月球，嫦娥四號(hào)要脫離月球束縛必須加速做離心運(yùn)動(dòng)才行，離開月球再減速運(yùn)動(dòng)才能返回地球．故D正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，會(huì)根據(jù)該規(guī)律計(jì)算線速度和中心天體的質(zhì)量．