Question

如圖所示，豎直放置的質(zhì)量為4m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓管頂端塞有一個(gè)質(zhì)量為m的彈性圓球，球和管間的滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．圓管從下端離地面距離為H處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時(shí)速度大小相等．求：
 （1）圓管彈起后圓球不致滑落，L應(yīng)滿足什么條件．
（2）圓管上升的最大高度是多少？
（3）圓管第二次彈起后圓球不致滑落，L又應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對(duì)于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對(duì)于管靜止時(shí)的相對(duì)位移，即可求解．
（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對(duì)加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間和管從碰地到與球相對(duì)靜止所需的時(shí)間，比較兩個(gè)時(shí)間知道球與管的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出管上升的最大高度．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答：解：（1）取豎直向下的方向?yàn)檎�方向�?br />球與管第一次碰地前瞬間速度v0=

2gH

，方向向下．
碰地后的瞬間管的速度v管=-

2gH

，方向向上；球的速度v球=

2gH

，方向向下，
球相對(duì)于管的速度v相=2

2gH

，方向向下．
碰后，管受重力及向下的摩擦力，加速度a_管=2g，方向向下，
球受重力及向上的摩擦力，加速度a_球=3g，方向向上，
球相對(duì)管的加速度a_相=5g，方向向上．
取管為參照物，則球與管相對(duì)靜止前，球相對(duì)管下滑的距離為：s相1=

v 2 相

2a

=

(2 2gH )2

2×5g

要滿足球不滑出圓管，則有L＞S相1=

4

5

H．
（2）設(shè)管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間為t₁（設(shè)球與管在這段時(shí)間內(nèi)摩擦力方向不變），則：t1=

- v   管

a管

=

2gH

2g

設(shè)管從碰地到與球相對(duì)靜止所需時(shí)間為t₂，t2=

- v   相

a相

=

2 2gH

5g

因?yàn)閠₁＞t₂，說(shuō)明球與管先達(dá)到相對(duì)靜止，再以共同速度上升至最高點(diǎn)，設(shè)球與管達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)離地高度為h′，兩者共同速度為v′，分別為：v′=v管-a管t2=

1

5

2gH

h′=v管t2-

1

2

a管t2=

12

25

H
然后球與管再以共同速度v′作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，再上升高度h″為h″=

v′2

2g

=

( 1 5 2gH )

2g

=

1

25

H
因此，管上升最大高度H’=h′+h″=

13

25

H
（3）當(dāng)球與管第二次共同下落時(shí)，離地高為

13

25

H，球位于距管頂

4

5

H處，同題（1）可解得在第二次反彈中發(fā)生的相對(duì)位移．
答：（1）圓管彈起后圓球不致滑落，L應(yīng)滿足大于

4

5

H的條件．
（2）圓管上升的最大高度是

13

25

H；
（3）圓管第二次彈起后圓球不致滑落，L又應(yīng)滿足條件是離地高為

13

25

H，球位于距管頂

4

5

H處．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過(guò)計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．