Question

如圖所示，質(zhì)量為m，帶電量為q（q＞0）的粒子（重力不計），從離坐標原點為1.5a的 y軸上的P點，以速度大小為v₀，方向與y軸正方向成θ=30°射入xoy坐標的第一象限，經(jīng)過一個在第一象限內(nèi)，邊界形狀為等腰梯形方向與xoy坐標面垂直勻強磁場區(qū)域，然后沿-x方向經(jīng)過坐標原點0，進入相互垂直的勻強電場和勻強磁場中，其運動軌跡為虛線所示，該電場強度為E，方向沿-y軸方向，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直坐標面向外．
（1）畫出最小的等腰梯形所處的位置和粒子運動軌跡，并求出此時的磁感應(yīng)強度；
（2）粒子過坐標原點0后的運動可分解為x方向和y方向兩分運動組成，已知y方向分運動為簡諧運動；求粒子離x軸最遠距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，作出臨界狀態(tài)時粒子的軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子圓周運動的半徑從而求出磁感應(yīng)強度．
（2）根據(jù)粒子在y軸方向上做簡諧運動，根據(jù)簡諧運動的特征結(jié)合動能定理求解即可．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子垂直進入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，軌跡半徑為r，則有洛倫茲力提供向心力：
qv0B=m

v 2 0

r

…①
B=

mv0

qr

…②
最小的等腰梯形邊界如圖PMNQ所示…③
設(shè)：此時半徑為r₀，最大磁感應(yīng)強度為B₀
從圖中可得 r₀+r₀sinθ=1.5a…④
∴r₀=a…⑤
B0=

mv0

qa

…⑥
（2）設(shè)粒子運動到最高點速度為v，離x軸的距離為y₀
根據(jù)動能定理  -qEy0=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

…⑦
根據(jù)簡諧運動的對稱性，粒子在最低點和最高點加速度大小相同，方向相反，設(shè)最大加速度為a₀，
根據(jù)牛頓第二定律：在0點：qv₀B-qE=ma…⑧
在最高點：qvB+qE=ma…⑨
由⑧⑨式解得：v=v0-

2E

B

…⑩
由⑦⑩解得 y0=

2m

qB

(v0-

E

B

)…?
答：（1）軌跡如圖所示，此時的磁感應(yīng)強度B0=

mv0

qa

（2）粒子離x軸的最遠距離為y0=

2m

qB

(v0-

E

B

)．

點評：粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)臨界條件作出粒子運動軌跡，確定圓心和圓周運動半徑是解決此類問題的常用方法，同時考查運用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力．