Question

2．假設(shè)宇航員在某星球表面用長為L的輕繩栓一質(zhì)量為m的小球，使之在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，不計(jì)小球在最低點(diǎn)時(shí)與星球表面間的距離．小球恰好能運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)，且在最高點(diǎn)時(shí)脫離輕繩，此后經(jīng)時(shí)間t落至星球表面．已知萬有引力常量為G，該星球半徑為R，不考慮星球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）該星球表面的重力加速度g₀和星球質(zhì)量M；
（2）小球在最高點(diǎn)時(shí)速度v₀的大小；
（3）若宇航員用此裝置使小球在豎直面內(nèi)又做了一次圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度與（2）中的v₀大小相等，則在最低點(diǎn)輕繩的拉力F_T多大？

Answer 1

分析 （1）小球在最高點(diǎn)脫離繩子后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)求出重力加速度，再根據(jù)星球表面，萬有引力等于重力求解星球質(zhì)量；
（2）小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)由重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求解；
（3）在最低點(diǎn)，根據(jù)向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）小球在最高點(diǎn)脫離繩子后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
$2L=\frac{1}{2}{g}_{0}{t}^{2}$
解得：g₀=$\frac{4L}{{t}^{2}}$，
在星球表面，萬有引力等于重力，則有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
解得：M=$\frac{4L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)由重力提供向心力，則有：
$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=m{g}_{0}$
解得：${v}_{0}=\frac{2L}{t}$
（3）在最低點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
F_T-m${g}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
解得：F_T=$\frac{8mL}{{t}^{2}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度g₀為$\frac{4L}{{t}^{2}}$，星球質(zhì)量M為$\frac{4L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）小球在最高點(diǎn)時(shí)速度v₀的大小為$\frac{2L}{t}$；
（3）若宇航員用此裝置使小球在豎直面內(nèi)又做了一次圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度與（2）中的v₀大小相等，則在最低點(diǎn)輕繩的拉力F_T為$\frac{8mL}{{t}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、牛頓第二定律、萬有引力等于重力這些知識(shí)點(diǎn)，突破口是根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求解重力加速度，知道小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)由重力提供向心力，綜合性較強(qiáng)，難度適中，需加強(qiáng)訓(xùn)練．