Question

11．如圖甲所示，兩平行界線MN與PQ之間存在一方向垂直紙面向里的勻強磁場B，磁場寬度d=0.5m；MN右側(cè)區(qū)域存在一水平向左的勻強電場，場強E=4.0×10²N/C，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從電場中A點由靜止開始釋放，已知A點到MN的距離為L=0.5m．粒子比荷為1.0×10⁴C/kg，不計粒子重力．
（1）求粒子進(jìn)入磁場時速度的大小；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場后不會從磁場左邊界PQ穿出，磁感應(yīng)強度B須滿足什么條件？
（3）若磁感應(yīng)強度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向里為正方向），且B₀=0.5T，t=0時刻從電場中A點由靜止釋放的粒子，在經(jīng)過電場和磁場作用后返回到A點的時間恰好等于磁場變化的一個周期，求磁場的變化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子由電場進(jìn)入磁場過程中，粒子做勻加速運動，所以根據(jù)動能定理即可求出粒子進(jìn)入磁場的速度；
（2）要使粒子不飛離磁場，即粒子能在磁場中做完整的圓周運動，所以r≤d
（3）要使粒子在經(jīng)過電場和磁場作用后返回到A點的時間恰好等于磁場變化的一個周期，先由特殊情況分析，粒子先加速進(jìn)磁場，在磁場中做圓周運動，出磁場后再減速運動到速度為零，再加速進(jìn)磁場，再圓周運動出磁場，最后減速到A點；最后再思考運動的多解性問題，即$\frac{T}{2}=n（\frac{T′}{2}+2{t}_{1}^{\;}）$（n=1、2、3…）

解答 解：（1）由動能定理，有：$EqL=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$$\sqrt{2×4×1{0}_{\;}^{2}×1.0×1{0}_{\;}^{4}×0.5}$=$2.0×1{0}_{\;}^{3}m/s$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，設(shè)軌道半徑為r，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，其中r≤d，即：$\frac{mv}{Bq}≤d$
代入數(shù)據(jù)為：$\frac{2.0×1{0}_{\;}^{3}}{B•1.0×1{0}_{\;}^{4}}≤0.5$
解得：B≥0.4T
（3）粒子釋放后，先在勻強電場中做勻加速直線運動，有$L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，其中$a=\frac{Eq}{m}$=$4.0×1{0}_{\;}^{2}×1.0×1{0}_{\;}^{4}=4.0×1{0}_{\;}^{6}m/{s}_{\;}^{2}$
可解得：${t}_{1}^{\;}=5.0×1{0}_{\;}^{-4}s$．接下來，粒子進(jìn)入勻強磁場做勻速圓周運動，設(shè)周期為T′，有$T′=\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=4π×1{0}_{\;}^{-4}s$
粒子的運動情境為：先在電場中加速，然后在磁場中偏轉(zhuǎn)半周，再進(jìn)入電場減速；在磁場變化的二分之一周期內(nèi)，粒子可以有多次這樣的過程．設(shè)在磁場變化的二分之一周期內(nèi)，粒子加速進(jìn)入磁場n次．
根據(jù)運動的對稱性，粒子在電場中減速的時間等于加速的時間，則有$\frac{T}{2}=n（\frac{T′}{2}+2{t}_{1}^{\;}）$（n=1、2、3…）
所以磁場的變化周期$T=（4π+20）n×1{0}_{\;}^{-4}s$（n=1、2、3…）
答：（1）粒子進(jìn)入磁場時速度的大小為$2.0×1{0}_{\;}^{3}m/s$；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場后不會從磁場左邊界PQ穿出，磁感應(yīng)強度B須滿足條件B≥0.4T
（3）若磁感應(yīng)強度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向里為正方向），且B₀=0.5T，t=0時刻從電場中A點由靜止釋放的粒子，在經(jīng)過電場和磁場作用后返回到A點的時間恰好等于磁場變化的一個周期，磁場的變化周期T為$（4π+20）n×1{0}_{\;}^{-4}s$（n=1、2、3…）

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動，以及粒子運動的多解性問題，關(guān)鍵是分析清楚粒子的運動過程，選擇合適的規(guī)律求解．