Question

11．如圖甲所示，兩平行界線MN與PQ之間存在一方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，磁場(chǎng)寬度d=0.5m；MN右側(cè)區(qū)域存在一水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=4.0×10²N/C，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從電場(chǎng)中A點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放，已知A點(diǎn)到MN的距離為L(zhǎng)=0.5m．粒子比荷為1.0×10⁴C/kg，不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后不會(huì)從磁場(chǎng)左邊界PQ穿出，磁感應(yīng)強(qiáng)度B須滿足什么條件？
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向里為正方向），且B₀=0.5T，t=0時(shí)刻從電場(chǎng)中A點(diǎn)由靜止釋放的粒子，在經(jīng)過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)作用后返回到A點(diǎn)的時(shí)間恰好等于磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期，求磁場(chǎng)的變化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子由電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，粒子做勻加速運(yùn)動(dòng)，所以根據(jù)動(dòng)能定理即可求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度；
（2）要使粒子不飛離磁場(chǎng)，即粒子能在磁場(chǎng)中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，所以r≤d
（3）要使粒子在經(jīng)過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)作用后返回到A點(diǎn)的時(shí)間恰好等于磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期，先由特殊情況分析，粒子先加速進(jìn)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，出磁場(chǎng)后再減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，再加速進(jìn)磁場(chǎng)，再圓周運(yùn)動(dòng)出磁場(chǎng)，最后減速到A點(diǎn)；最后再思考運(yùn)動(dòng)的多解性問(wèn)題，即$\frac{T}{2}=n（\frac{T′}{2}+2{t}_{1}^{\;}）$（n=1、2、3…）

解答 解：（1）由動(dòng)能定理，有：$EqL=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$$\sqrt{2×4×1{0}_{\;}^{2}×1.0×1{0}_{\;}^{4}×0.5}$=$2.0×1{0}_{\;}^{3}m/s$
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，其中r≤d，即：$\frac{mv}{Bq}≤d$
代入數(shù)據(jù)為：$\frac{2.0×1{0}_{\;}^{3}}{B•1.0×1{0}_{\;}^{4}}≤0.5$
解得：B≥0.4T
（3）粒子釋放后，先在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有$L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，其中$a=\frac{Eq}{m}$=$4.0×1{0}_{\;}^{2}×1.0×1{0}_{\;}^{4}=4.0×1{0}_{\;}^{6}m/{s}_{\;}^{2}$
可解得：${t}_{1}^{\;}=5.0×1{0}_{\;}^{-4}s$．接下來(lái)，粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)周期為T′，有$T′=\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=4π×1{0}_{\;}^{-4}s$
粒子的運(yùn)動(dòng)情境為：先在電場(chǎng)中加速，然后在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)半周，再進(jìn)入電場(chǎng)減速；在磁場(chǎng)變化的二分之一周期內(nèi)，粒子可以有多次這樣的過(guò)程．設(shè)在磁場(chǎng)變化的二分之一周期內(nèi)，粒子加速進(jìn)入磁場(chǎng)n次．
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，粒子在電場(chǎng)中減速的時(shí)間等于加速的時(shí)間，則有$\frac{T}{2}=n（\frac{T′}{2}+2{t}_{1}^{\;}）$（n=1、2、3…）
所以磁場(chǎng)的變化周期$T=（4π+20）n×1{0}_{\;}^{-4}s$（n=1、2、3…）
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為$2.0×1{0}_{\;}^{3}m/s$；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后不會(huì)從磁場(chǎng)左邊界PQ穿出，磁感應(yīng)強(qiáng)度B須滿足條件B≥0.4T
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向里為正方向），且B₀=0.5T，t=0時(shí)刻從電場(chǎng)中A點(diǎn)由靜止釋放的粒子，在經(jīng)過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)作用后返回到A點(diǎn)的時(shí)間恰好等于磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期，磁場(chǎng)的變化周期T為$（4π+20）n×1{0}_{\;}^{-4}s$（n=1、2、3…）

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，以及粒子運(yùn)動(dòng)的多解性問(wèn)題，關(guān)鍵是分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的規(guī)律求解．