Question

（25分）地球赤道表面附近處的重力加速度為，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，方向沿經(jīng)線向北。赤道上空的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與成反比（r為考察點(diǎn)到地心的距離），方向與赤道附近的磁場(chǎng)方向平行。假設(shè)在赤道上空離地心的距離（為地球半徑）處，存在厚度為10km的由等數(shù)量的質(zhì)子和電子的等離子層（層內(nèi)磁場(chǎng)可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)），每種粒子的數(shù)密度非常低，帶電粒子的相互作用可以忽略不計(jì)。已知電子的質(zhì)量，質(zhì)子的質(zhì)量，電子電荷量為，地球的半徑。

　　1.所考察的等離子層中的電子和質(zhì)子一方面作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，另一方面因受地球引力和磁場(chǎng)的共同作用會(huì)形成位于赤道平面內(nèi)的繞地心的環(huán)行電流，試求此環(huán)行電流的電流密度。

　　2.現(xiàn)設(shè)想等離子層中所有電子和質(zhì)子，它們初速度的方向都指向地心，電子初速度的大小，質(zhì)子初速度的大小。試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這些電子和質(zhì)子都不可能到到達(dá)地球表面。

Answer 1

解法一：

1.由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球的半徑，故在所考察的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng).在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

       （1）

引力加速度

             （2）

考察等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，作一直角坐標(biāo)系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz沿磁場(chǎng)方向，如圖1所示.該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為u_x、u_y和u_z.因作用于粒子的引力沿x軸正方向，作用于粒子的洛倫茲力與z軸垂直，故粒子在z軸方向不受力作用，沿z軸的分速度保持不變. 現(xiàn)設(shè)想在開始時(shí)刻，附加給粒子一沿y軸正方向大小為v₀的速度，同時(shí)附加給粒子一沿y軸負(fù)方向大小為v₀的速度，要求與其中一個(gè)v₀相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平衡，即

   

得                                    （3）

用v表示u_x與沿y軸的速度的合速度（對(duì)質(zhì)子取正號(hào)，對(duì)電子取負(fù)號(hào)），有

                          （4）

這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分：

沿z軸的分速度．其大小和方向都保持不變，但對(duì)不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的速度分量．

沿y軸的速度．對(duì)帶正電的粒子，速度的方向沿y軸的負(fù)方向，對(duì)帶負(fù)電的粒子，速度的方向沿y軸的正方向．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率沿y軸運(yùn)動(dòng)．由（3）式可知，的大小是恒定的，與粒子的初速度無(wú)關(guān)，且對(duì)同種的粒子相同．

在平面內(nèi)的速度．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在平面內(nèi)作速率為的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，若以R表示圓周的半徑，則有

得                                                      （5）

由（4）、（5）式可知，軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x分量和y分量有關(guān)．圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的，在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于0．

由此可見(jiàn)，等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)雖然相當(dāng)復(fù)雜，但每個(gè)粒子都具有由（3）式給出的速度，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對(duì)電子，方向向西，對(duì)質(zhì)子，方向向東．電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度．漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng)，電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流．

由（3）式和（1）、（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為

                           （6）

                       （7）

由于電子、質(zhì)子漂移速度的方向相反，電荷異號(hào)，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東.根據(jù)電流密度的定義有

                      （8）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                         （9）

電流密度的方向沿緯度向東.

2．上一小題的討論表明，粒子在平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速率由（4）式給出，它與粒子的初速度有關(guān)．對(duì)初速度方向指向地心的粒子，圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

                          （10）

由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為

                                             （11）

                                                 （12）

以上的計(jì)算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場(chǎng)的作用，電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為和，都遠(yuǎn)小于等離子層的厚度，所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)落到地面上.

解法二：

1.由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球半徑，故在所考察等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng).在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

           （1）

引力加速度

              （2）

考察等離子層中的某一質(zhì)量為m，電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，作一直角坐標(biāo)系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz沿磁場(chǎng)方向，如圖1所示.該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為u_x、u_y和u_z. 若以、、表示粒子在任意時(shí)刻t的速度在x方向、y方向和z方向的分速度，則帶電粒子在引力和洛倫茲力的共同作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

                                    

                （3）

                                            （4）

                                （5）

（5）式表明，所考察粒子的速度在z軸上的分量保持不變，即

                                              （6）

作變量代換，令　　　　            （7）

 其中

                                                 （8）

把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得

                         　　　　　　             （9）

                   　   　                    （10）

由（9）、(10) 兩式可知，作用于粒子的力在x和y方向的分量分別為

若用表示的方向與x軸的夾角，表示的方向與x軸的夾角，而，則有

可見(jiàn)，表明的方向與的方向垂直，粒子將在的作用下在平面內(nèi)作速率為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若以R表示圓周的半徑，則有

                                                    （11）

在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，V的大小是不變的，任何時(shí)刻V的值也就是時(shí)刻V的值，由（7）式和已知條件在時(shí)刻有

故有

                                  （12）

以上討論表明，粒子的運(yùn)動(dòng)可分成三部分：

根據(jù)（6）式，可知粒子沿z軸的分速度大小和方向都保持不變，但對(duì)不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的速度分量．

根據(jù)（7）式可得，，表明粒子在平面內(nèi)以速率作圓周運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，又以速度沿y軸運(yùn)動(dòng)．、是圓周運(yùn)動(dòng)速度的x分量和y分量．圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x分量和y分量有關(guān)．圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的，在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于0．

沿y軸的速度由（8）式給出，其大小是恒定的，與粒子的初速度無(wú)關(guān)，同種粒子相同，但對(duì)帶正電的粒子，其方向沿y軸的負(fù)方向，對(duì)帶負(fù)電的粒子，其方向沿y軸的正方向．

由此可見(jiàn)，等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子雖然相當(dāng)復(fù)雜，但每個(gè)粒子都具有由（8）式給出的速度，其方向垂直于粒子所在處的地球引力，對(duì)電子，方向向西，對(duì)質(zhì)子，方向向東．電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度．漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng)，電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流．

由（8）式和（1）、（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為

                          （13）

                             （14）

由于電子、質(zhì)子漂移速度的方相反，電荷異號(hào)，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東.根據(jù)電流密度的定義有

                       （15）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                       （16）

電流密度的方向沿緯度向東.

2．上一小題的討論表明，粒子在平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速率由（12）式給出，它與粒子的初速度有關(guān)．對(duì)初速度方向指向地心的粒子，圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

                         （17）

因題給出的電子與質(zhì)子的初速度是不同的，電子、質(zhì)子的質(zhì)量又是不同的，故電子、質(zhì)子在平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也是不同的．由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為

                                （18）

                                   （19）

以上的計(jì)算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場(chǎng)的作用，電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為和，都遠(yuǎn)小于電離層的厚度，所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)落到地面上。