Question

（20分）如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動。彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ=0.2，不計其它機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質量m=0.01kg，軌道質量為M=0.26kg，g=10m/s²，求：

（1）要使小球從d點拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？

（2）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，

當v₀至少為多少時，小球經過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力為零。

（3）若v₀=3m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

（20分）

（1）設小球到達d點處速度為v_d，由動能定理，得

  ………（1）

如小球由d點做平拋運動剛好經過圖中的O點，則有

  ……………………………………（2）

   ……………………………………… 3）

聯立①②③并代入數值得

   …………………… （4）

小球的初速度v₀需滿足  …………………………（5）

（2）設小球到達c點處速度為v_c，由動能定理，得

  …………………………（6）

當小球通過c點時，由牛頓第二定律得

   ………………………………………………（7）

要使軌道對地面的壓力為零，則有

N′=Mg   …………………………………………………………………（8）

聯立⑥⑦⑧并代入數值，解得小球的最小速度

v₀=6 m/s  …………………………………………………………………（9）

（3）小球能通過d點，需滿足，由動能定理

  ………………………………………（10）

得：

因，小球過不了d點而沿軌道原路返回…………（11）

對整個過程由動能定理，有

   …………………………………………………（12）

得     ……………………………………………………………（13）

小球最終停在a右側處  ……………………………………………（14）

評分標準：共20分，其中（1）（6）各3分（7）（12）各2分，其余各1分。