Question

（2011?安慶二模）如圖所示，一豎直光滑絕緣的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的絕緣彈簧，其下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球A相連，整個(gè)空間存在一豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球A靜止時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)．另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從距A為x₀的P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，與A發(fā)生碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)（全過(guò)程中小球A 的電量不發(fā)生變化，重力加速度為g）．
（1）若x₀已知，試求B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能；
（2）若x₀未知，且B與A在最高點(diǎn)恰未分離，試求A、B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量；
（3）在滿(mǎn)足第（2）問(wèn)的情況下，試求A、B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度．

Answer 1

分析：選擇正確的研究對(duì)象．
分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)過(guò)程．
由機(jī)械能守恒定律求得與A碰撞前B的速度．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律列出等式解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，在碰撞前A靜止時(shí)有：
   qE=mg      ①
解得：E=

mg

q

在與A碰撞前B的速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得：
mgx₀=

1

2

mv₀²
∴v0=

2gx0

   ②
B與A碰撞后共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=2mv₁                      ③
∴v₁=

1

2

v₀
B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能△E為：
△E═

1

2

mv₀²-

1

2

2mv₁²=

1

2

mgx₀④
（2）A、B在最高點(diǎn)恰不分離，此時(shí)A、B加速度相等，且它們間的彈力為零，設(shè)此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x₁，則：對(duì)B：
mg=ma              ⑤
對(duì)A：mg+kx-qE=ma         ⑥
所以彈簧的伸長(zhǎng)量為：x₁=

mg

k

（3）A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力為零時(shí)，具有最大速度v_m，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x₂，則：
   2mg-（qE+kx₂）=0          ⑦
∴x₂=

mg

k

由于x₁=x₂，說(shuō)明A、B在最高點(diǎn)處與合外力為零處彈簧的彈性勢(shì)能相等，對(duì)此過(guò)程由能量守恒定律得：
（2mg-qE）（x₁+x₂）=

1

2

2mv_m² ⑧
解得：v_m=g

2m k

答：（1）若x₀已知，B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能是

1

2

mgx₀；
（2）若x₀未知，且B與A在最高點(diǎn)恰未分離，A、B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量是

mg

k

；
（3）在滿(mǎn)足第（2）問(wèn)的情況下，A、B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度是g

2m k

．

點(diǎn)評(píng)：解決問(wèn)題首先要清楚研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．
我們要清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)化，以便從能量守恒角度解決問(wèn)題．
把動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合起來(lái)列出等式求解是常見(jiàn)的問(wèn)題．