Question

如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，軌道之間有一條水平軌道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開兩圓軌道，若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力都恰好為零，試求CD段的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力恰好為零，都由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過圓形軌道最高點(diǎn)時(shí)的速率．當(dāng)小球從C到達(dá)甲圓形軌道的最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速率．根據(jù)動(dòng)能定理求解CD的長(zhǎng)度．

解答：解：設(shè)小球通過C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C，通過甲軌道最高點(diǎn)的速度為v₁，
根據(jù)小球?qū)�軌道壓力為零�?nbsp; 
    mg=m

v12

R

…①
取軌道最低點(diǎn)所在水平面為參考平面，
由機(jī)械能守恒定律有

1

2

mvC2=mg?2R+

1

2

mv12…②
聯(lián)立①②式，可得vC=

5gR

同理可得小球通過D點(diǎn)時(shí)的速度vD=

5gr

，設(shè)CD段的長(zhǎng)度為l，對(duì)小球通過CD
段的過程，由動(dòng)能定理有 
-μmgl=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
解得：l=

5(R-r)

2μ

答：CD段的長(zhǎng)度是

5(R-r)

2μ

．

點(diǎn)評(píng)：本題是向心力、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用．在豎直平面內(nèi)，小球沿光滑圓軌道的運(yùn)動(dòng)模型與輕繩拴的球的運(yùn)動(dòng)模型相似．