Question

【題目】某傳送裝置如圖所示，檔板M固定在水平臺(tái)面上，連接有輕彈簧K，A、B是水平傳送帶的左、右兩端點(diǎn)，B點(diǎn)右側(cè)通過(guò)另一水平臺(tái)面BC與豎直半圓固定軌道CDH連接，D是半圓的中點(diǎn)，用質(zhì)量m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）向左緩慢擠壓彈簧使其具有一定的彈性勢(shì)能E并用細(xì)線鎖定（彈簧與物塊不拴接）。已知傳送帶順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，其速度v=4m/s，A、B間的距離L=2m，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5（其余接觸面不計(jì)摩擦），圓軌道的半徑R=1m，重力加速度取g=10m/s2。某時(shí)刻剪斷細(xì)線，釋放物塊。

(1)若彈簧的彈性勢(shì)能E=2J，則物塊在傳送帶上第一次由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間是多少？

(2)若要物塊釋放后能滑上半圓軌道且沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，求彈簧的彈性勢(shì)能E應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1)0.6s (2)或

【解析】

(1)若彈簧的彈性勢(shì)能，設(shè)釋放后物塊在A點(diǎn)獲得的速度為，有：

可得：

因，故物塊滑上傳送帶后受摩擦力作用而做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，對(duì)物塊由牛頓第二定律有：

可得：

設(shè)物塊加速至與傳送帶共速需要時(shí)間，所需位移，有：

因，故物塊此后在傳送帶上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其時(shí)間：

故物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

(2)物塊經(jīng)過(guò)點(diǎn)由滑上圓軌道，若剛好到達(dá)點(diǎn)，則在點(diǎn)的速度為零，設(shè)其在點(diǎn)的速度為，對(duì)→，由機(jī)械能守恒有：

可得：

因，故物塊在傳送帶上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)此情況彈簧對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能為，對(duì)物塊釋放→，由動(dòng)能定理有：

由功能關(guān)系有彈簧具有的彈性勢(shì)能：

可得：

若物塊剛好到達(dá)點(diǎn)，設(shè)其在點(diǎn)的速度為，在點(diǎn)由牛頓第二定律有

可得：

對(duì)物塊釋放→，由動(dòng)能定理有：

由功能關(guān)系有彈簧具有的彈性勢(shì)能：

可得：

綜上所述，要物塊釋放后不脫離圓軌道，彈簧的彈性勢(shì)能應(yīng)滿足：

或