Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．B點(diǎn)右側(cè)相距為5R的D處有一豎直固定的光滑四分之一圓弧軌道DE，其半徑為R，E點(diǎn)切線豎直，用質(zhì)量為M的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為v₀=3

gR

，到達(dá)D點(diǎn)后滑上光滑的半圓軌道，在E點(diǎn)正上方有一離E點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)直徑方向開有兩個(gè)離軸心距離相等的小孔M、N，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能達(dá)到E點(diǎn)的正上方．滑塊滑過E點(diǎn)后進(jìn)入M孔，又恰能從N孔落下，已知AD部分動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，g=10m/s²．求：
（1）BC間距離；
（2）m到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω．

Answer 1

分析：（1）用質(zhì)量為M和質(zhì)量為m的兩個(gè)物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)時(shí)，彈簧具有的彈性勢能相等．用M彈簧壓縮彈簧釋放后，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，用m壓縮彈簧釋放后，彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體m的動(dòng)能、內(nèi)能．根據(jù)功能關(guān)系，求解BC間距離．
（2）由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理求出物塊在D點(diǎn)時(shí)的速度大小，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解m到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）物塊m從D點(diǎn)到豎直上拋?zhàn)罡唿c(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，可求出物塊m從D點(diǎn)通過小孔M所能達(dá)到的距M點(diǎn)的最大高度h，由h=

1

2

gt2求出豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間2t，物塊再次落入小孔N過程中，根據(jù)轉(zhuǎn)盤運(yùn)動(dòng)的周期性有：T=(n+

1

2

)×2t（n=0、1、2、3…），又角速度ω=

2π

T

聯(lián)立解得角速度．

解答：解：（1）設(shè)BC間距離為x，根據(jù)能量關(guān)系有：
 彈性勢能Ep=μMgx=μmgx+

1

2

m

v

2 0

由于v₀=3

gR

  解得：x=

15mR

M-m

；
（2）設(shè)物塊m到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速率為v，由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可得：
-μmg×5R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

物塊在D點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律：FN-mg=m

v2

R

解得：F_N=9mg
由牛頓第三定律可知，物塊對(duì)軌道的壓力為：FN′=F_N=9mg．
（3）設(shè)物塊m從D點(diǎn)通過小孔M所能達(dá)到的距M點(diǎn)的最大高度為h，
由動(dòng)能定理可得：-mg(h+2R)=0-

1

2

mv2
設(shè)物塊m從最高點(diǎn)落回N孔的時(shí)間為t，根據(jù)對(duì)稱性有：h=

1

2

gt2
物塊再次落入小孔N過程中，對(duì)轉(zhuǎn)盤根據(jù)周期性有：T=(n+

1

2

)×2t（n=0、1、2、3…）
又ω=

2π

T

聯(lián)立解得：ω=

π gR

R(2n+1)

．
答：（1）BC間距離是

15mR

M-m

；
（2）m到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是9mg；
（3）平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω是

π gR

R(2n+1)

（n=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，把握解題規(guī)律是關(guān)鍵，難點(diǎn)是抓住轉(zhuǎn)盤運(yùn)動(dòng)的周期性，得到轉(zhuǎn)盤的周期與豎直上拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系．