Question

17．如圖所示，一輕彈簧左端固定在豎直墻上，自然伸長時(shí)右端到A，水平面上放置一個(gè)質(zhì)量為M=20kg的長木板（木板與彈簧不拴接），水平面與木板間的動摩糠因數(shù)為μ₁=0.1，開始時(shí)木板左端恰好在A處，一質(zhì)量為m=16kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從木板右端以速度v₀=6m/s滑上長木板，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.5木板壓縮彈簧，經(jīng)過時(shí)間t=1.0s彈簧被壓縮了x₀=2.5m，此時(shí)物塊與木板恰好不再相對滑動，此后物塊與木板相對靜止，直至停止在水平面上，可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s²；
（1）求木板的長度至少多長？
（2）求物塊與木板達(dá)到共同速度的瞬間，彈簧的彈性勢能為多大？
（3）若彈簧的彈性勢能E_P=$\frac{1}{2}$k△x²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，△x為彈簧的形變量，則最終木板能否離開彈簧？若能，則離開后在水平面上滑行的距離為多少？若不能，請通過計(jì)算說明．

Answer 1

分析 （1）研究物塊從開始在木板上滑動到相對靜止的過程，由牛頓第二定律求出物塊的加速度，由速度公式求出木板和物塊達(dá)到共同速度經(jīng)歷的時(shí)間，從而求出物塊和木板的位移，得到兩者的相對位移，即等于木板的最長長度．
（2）從物塊開始在木板上滑動到相對靜止的過程，對木板應(yīng)用動能定理，求出彈簧對木板做的功，即可得到木板對彈簧做的功，根據(jù)功能關(guān)系得到彈簧的彈性勢能．
（3）達(dá)到共同速度后，木板繼續(xù)向左運(yùn)動，速度減至零后又反向運(yùn)動，對來回兩個(gè)過程，對木板和物塊整體運(yùn)用動能定理列式，即可求解木板離開后在水平面上滑行的距離．

解答 解：（1）物塊從開始在木板上滑動到相對靜止的過程
對物塊，加速度大小為 a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=5m/s²；
設(shè)木板和物塊的共同速度為v₁，可知 v₁=v₀-at=1m
物塊運(yùn)動的位移為 s₁=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}t$=3.5m
木板運(yùn)動的位移為 s₂=x₀=2.5m
物塊與木板的相對位移為 s=s₁-s₂=1m
此后它們一起運(yùn)動，所以木板長度至少為 s=1m
（2）從開始到物塊和木板達(dá)到共同速度的過程中，設(shè)彈簧對木板所做的功為-W．
對木板應(yīng)用動能定理有
  μ₂mgx₀-μ₁（M+m）gx₀-W=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
解得 W=100J
則木板對彈簧做的功 W=100J，此功轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，即物塊與木板共速時(shí)，彈簧的彈性勢能為100J．
（3）達(dá)到共同速度后，木板繼續(xù)向左運(yùn)動，設(shè)又向左運(yùn)動s₃的距離木板速度減為0，然后反向運(yùn)動，假設(shè)木板左端能回到A點(diǎn)，設(shè)木板到A時(shí)的速度為v₂，從速度v₁到v₂，對物塊和木板應(yīng)用功能關(guān)系有
  W-μ₁（M+m）g（2s₃+x₀）=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}$ ①
對彈簧有 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=W ②
對木板和物塊由達(dá)到共速到向左減速到有
  $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}k（{s}_{3}+{x}_{0}）^{2}$-μ₁（M+m）gs₃=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}$ ③
聯(lián)立①②③可得 v₂=0.98m/s，則木板左端能回到A點(diǎn)，則離開彈簧后在水平面上滑行的距離 L=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=0.48m
答：
（1）木板的長度至少1m．
（2）物塊與木板達(dá)到共同速度的瞬間，彈簧的彈性勢能為100J．
（3）木板左端能回到A點(diǎn)，離開彈簧后在水平面上滑行的距離為0.48m．

點(diǎn)評 運(yùn)用能量守恒或動能定理解題，關(guān)鍵選擇好研究的過程，確定共速狀態(tài)的速度，分析過程中的能量轉(zhuǎn)化，然后列式求解．