Question

7．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°．重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）若ω=3ω₀，求小物塊受到的摩擦力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當角速度ω=3ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）物塊隨陶罐在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，當物塊受到的摩擦力恰好等于零時，物塊受到的重力和陶罐對其施加的指向O點的支持力的合力提供向心力，有：
$mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}•Rsinθ$，代入數(shù)據(jù)，可得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）當ω=3ω₀時，物塊受到的摩擦力沿陶罐壁切線向下，設摩擦力的大小為f，陶罐壁對物塊的支持力為F_N，對物塊受力分析，則：
水平方向：${F}_{N}sinθ+fcosθ=m{ω}^{2}•Rsinθ$；豎直方向：F_Ncosθ-fsinθ-mg=0，
代入數(shù)據(jù)，解得：f=$4\sqrt{3}mg$．
方向：沿陶罐壁切線向下．
答：（1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）小物塊受到的摩擦力的大小為$4\sqrt{3}$mg，方向沿切線向下．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解．