Question

11．磁浮列車是一種高速運載工具．它具有兩個重要系統(tǒng)：懸浮系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)．設(shè)圖中xOy平面代表軌道平面，x軸與軌道平行，現(xiàn)有一個與軌道平面垂直的磁場正以速度v向-x方向勻速運動，設(shè)在t=0時，該磁場的磁感應(yīng)強度B的大小隨著空間位置x的變化規(guī)律為B=B₀coskx（式中B₀、k為已知常量），且在y軸處，該磁場垂直xOy平面指向紙里．與軌道平面平行的一個金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知該金屬框的MN、PQ邊與軌道垂直，長度為L，且MN邊固定在y軸上；MQ、NP邊與軌道平行，長度為d=$\frac{π}{k}$，金屬框的總電阻為R，忽略金屬框?qū)υ�磁場的影響．求�?br />
（1）t=0時刻，金屬框中的感應(yīng)電流I₀大小和方向．
（2）金屬框中感應(yīng)電流i的瞬時值表達式．
（3）金屬框所受安培力F的瞬時值表達式；并在圖2中畫出F隨時間變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割感應(yīng)電動勢與閉合電路歐姆定律，即可確定感應(yīng)電流的大小，再由右手定則可確定感應(yīng)電流的方向；
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律，與運動學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)安培力的表達式，結(jié)合前面的結(jié)論，從而可根據(jù)關(guān)系式，作出圖象．

解答 解：（1）磁場向-x方向運動，等效金屬框向+x方向運動．
t=0時刻，金屬框產(chǎn)生的電動勢：e=2B₀Lv，$i=\frac{e}{R}=\frac{{2{B_0}Lv}}{R}$，
電流的方向根據(jù)右手定則可知為M→N→P→Q→M；
（2）設(shè)經(jīng)過時間t，金屬框MN所在處磁場強度為B，
電流：$i=\frac{2BLv}{R}=\frac{{2{B_0}Lv}}{R}cos（kx）$
又x=vt，得到電流瞬時值的表達式是：$i=\frac{{2{B_0}Lv}}{R}cos（kvt）$；
（3）金屬框受安培力的方向始終向左．設(shè)經(jīng)過時間t，
金屬框受到安培力為：
${F_安}=2BiL=\frac{{4{B^2}{L^2}v}}{R}=\frac{{4B_0^2{L^2}v}}{R}{cos^2}（kvt）=\frac{{2B_0^2{L^2}v}}{R}[{cos（2kvt）+1}]$，
由此可知：金屬框受到安培力F隨時間變化的圖象如下圖：

答：（1）t=0時刻，金屬框中的感應(yīng)電流I₀大小為：$\frac{2{B}_{0}Lv}{R}$，方向：M→N→P→Q→M．
（2）金屬框中感應(yīng)電流i的瞬時值表達式為：i=$\frac{2{B}_{0}Lv}{R}$cos（kvt）．
（3）金屬框所受安培力F的瞬時值表達式為：F_安=$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R}$[cos（2kvt）+1]，F(xiàn)隨時間變化的圖象如圖所示．

點評 考查法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律與焦耳定律，掌握右手定則，注意與左手定則的區(qū)別，同時由電流的有效值來確定熱量的多少，最后掌握安培力的表達式，突出電流變化的關(guān)系式．