Question

（2011?河?xùn)|區(qū)一模）如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直直面向外、大小可調(diào)的勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，在環(huán)中做半徑為R的圓周運(yùn)動，A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來電勢均為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板時，A板電勢升高為+U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩極中得到加速．每當(dāng)粒子離開時，A極電勢又降為零，粒子在電場中一次一次加速下動能不斷增大，而繞行半徑不變．
（1）設(shè)t=0時，粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速，并開始繞行第一圈，求粒子繞行n圈回到A板時獲得的動能E_n；
（2）為使粒子運(yùn)動半徑始終不變，磁場必周期性遞增，求粒子繞行第n圈時磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n為多少？
（3）求粒子繞行n圈所需的總時間t_n．（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，每加速一次，粒子的能量就增加qU，所以繞行n圈時粒子的總動能為nqU．
（2）能量逐漸增加，速度就逐漸增加，由能量可表示出速度，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出第n圈時的磁場強(qiáng)度．
（3）每圈的半徑?jīng)]有發(fā)生變化，由周長和每圈的速度即可求出每圈的時間，然后相累加．

解答：解：
（1）粒子繞行一圈，動能的增量為qU，則繞行n圈所獲得的總動能為：
E_n=nqU
（2）因為有：nqU=

1

2

m

v

2 n

qvnBn=m

v 2 n

R

得：Bn=

1

R

2nmU q

（3）粒子做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，每一圈所用的時間為

2πR

v

，由于每一圈速度不同，所以每一圈所所需時間也不同，
第一圈：
qU=

1

2

m

v

2 1

v1=

2qU m

第二圈：
2qU=

1

2

m

v

2 2

v2=

2×2qU m

…
第n圈的速度為：
vn=

n×2qU m

故繞行n圈所用的時間為：
t=t₁+t₂+…+t_n
=

2πR

v1

+

2πR

v2

+…+

2πR

vn

=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
答：（1）粒子繞行n圈回到A板時獲得的動能為nqU
（2）粒子繞行第n圈時磁感應(yīng)強(qiáng)度為

1

R

2nmU q

（3）求粒子繞行n圈所需的總時間為2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

點(diǎn)評：粒子加速器是利用磁場的偏轉(zhuǎn)使電場能重復(fù)對粒子加速，粒子在加速器內(nèi)旋轉(zhuǎn)時半徑是不變化的，所以粒子加速器所加的磁場時要發(fā)生變．速度越來越大，周期越來越小．解決此類問題，常用到能量的轉(zhuǎn)化與守恒，粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動半徑和周期．對于周期的計算也可以用圓周的長度除以速度．