Question

9．如圖所示，半徑為R的半球形容器，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)容器球心O的對(duì)稱軸OO′重合，轉(zhuǎn)臺(tái)以一定的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)容器壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為45°，重力加速度為g．
（1）若ω=ω₀時(shí)，小物塊受到的摩擦恰好為零，求ω₀？
（2）若ω＞ω₀，求小物塊受到的摩擦力大小和方向？

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當(dāng)ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtan45°=$mRsin45°{{ω}_{0}}^{2}$，
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）若ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律得：
fcos45°+Ncos45°=mRsin45°ω²．
fsin45°+mg=Nsin45°
聯(lián)立兩式解得：f=$\frac{1}{2}mR{ω}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mg$
答：（1）若ω=ω₀時(shí)，小物塊受到的摩擦恰好為零，則ω₀為$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$；
（2）若ω＞ω₀，小物塊受到的摩擦力大小為$\frac{1}{2}mR{ω}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mg$，方向沿罐壁切線向下．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．