Question

4．已知質(zhì)量分別均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零．科學(xué)家設(shè)想在赤道正上方高d處和正下方深為d處各修建一環(huán)形軌道，軌道面與赤道面共面．現(xiàn)有A、B兩物體分別在上述兩軌道中做勻速圓周運動，若地球半徑為R，軌道對它們均無作用力，則兩物體運動的向心加速度大小、線速度大小、角速度、周期之比為（　�。�

• A． $\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=（$\frac{R-d}{R+d}$）²
• B． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{R-d}{R+d}}$
• C． $\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{（R-d）^{3}}{（R+d）^{3}}}$
• D． $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{（R+d）^{3}}{{R}^{3}}}$

Answer 1

分析 由地球質(zhì)量等于密度乘以體積，可得地球質(zhì)量表達式；由萬有引力提供向心力，對A、B分別列方程可得兩物體速度和加速度之比．

解答 解：設(shè)地球密度為ρ，則有：
在赤道上方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{（R+d）^{2}}$=$\frac{{v}_{1}^{2}}{R+d}$=a₁=（R+d）ω²=$\frac{4{π}^{2}（R+d）}{{T}^{2}}$
在赤道下方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π（R-d）^{2}}{（R-d）^{2}}$=$\frac{{v}_{2}^{2}}{R-d}$=a₂=（R-d）ω²=$\frac{4{π}^{2}（R-d）}{{T}^{2}}$
則可知，ABC錯誤，D正確；
故選：D

點評 本題主要掌握萬有引力提供向心力的基本應(yīng)用，要會用數(shù)學(xué)方法表示球體質(zhì)量；并正確應(yīng)用萬有引力充當(dāng)向心力求解各物理量的表達式．