Question

3．小船在寬度為300m，水流速度為5m/s的河中駛向?qū)Π�，已知小船在靜水中的速度為10m/s，兩岸是平行的，求：
（1）若要使小船最短時間過河，它將在何時何處到達對岸？
（2）若要使小船到達正對岸，最短位移為？小船應如何行駛？要用多長時間？

Answer 1

分析 （1）當船在垂直于河岸方向上的速度最大時，渡河時間最短，即為船頭始終指向河對岸時，時間最短．用運動學公式即可得知渡河的最短時間，船還隨河水向下運動，求出船隨河水向下運動的位移，即可得知船的實際位移．
（2）船垂直渡河時船的航程最短，此時船頭要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小與水流的速度大小相等，對兩個速度進行合成，利用運動學公式即可求得渡河時間．

解答 解：（1）船渡河時間最短，就是在垂直于河岸方向上的速度最大，即為讓船頭始終指向?qū)Π�，渡河時間為：
t_min=$\fracgsmdvvn{{v}_{c}}$=$\frac{300}{10}$=30s
船沿河流方向上的位移為：s=v_水•t_min=5×30=150m
（2）要使船航程最短，即為讓船垂直河岸渡河，船航行的實際速度垂直于河岸，如圖所示
設(shè)船在靜水中的速度方向與河岸間的夾角為θ，船在靜水中的速度沿河岸上的分量大小與水流的速度大小相等，方向相反，有：v_靜•cosθ=v_水
即為：cosθ=$\frac{5}{10}$
得：θ=60°
即為船頭指向上游，與河岸間的夾角為60°
此時合速度為：v_合=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$m/s
渡河時間為：t=$\fracmwnvdu1{{v}_{合}}$=$\frac{300}{5\sqrt{3}}$=20$\sqrt{3}$s
答：（1）若要使小船最短時間過河，它將在30s，到達偏離正對岸下游150m；
（2）若要使小船到達正對岸，最短位移為300m，小船應偏向上游，要用20$\sqrt{3}$s時間．

點評 該題通過渡河的模型考察了運動的合成與分解，關(guān)于渡河問題，應注意幾種渡河方式，一是垂直渡河，此時渡河位移最短，但是所用時間不是最短的，此種情況要求船的合速度與河岸垂直，二是船頭始終指向?qū)Π兜亩珊樱�此種情況下渡河時間最短，但是渡河位移不是最短；關(guān)于渡河問題，還要會判斷能否垂直渡河，其條件是船在靜水中的速度大小要大于河水流動的速度大小．