Question

9．如圖甲所示，是建筑工地將樁料打入泥土中以加固地基的打夯機(jī)示意圖，打夯前先將樁料扶正立于地基上．已知夯錘的質(zhì)量為M=450kg，樁料的質(zhì)量為m=50kg．每次打夯都通過(guò)卷?yè)P(yáng)機(jī)牽引將夯錘提升到距離樁頂h₀=5m處再釋放，讓夯錘自由下落，夯錘砸在樁料上并不彈起，而是隨樁料一起向下運(yùn)動(dòng)．樁料進(jìn)入泥土后所受阻力隨打入深度h的變化關(guān)系如圖乙所示，直線斜率k=5.05×10⁴N/m．g=10m/s²，求
（1）夯錘與樁斜碰撞完畢后，隨樁料一起向下運(yùn)動(dòng)的速度是多少？
（2）打完第一夯后，樁料進(jìn)入泥土的深度．（假設(shè)打第一夯前，樁料未進(jìn)入泥土）

Answer 1

分析 （1）夯錘先自由下落，然后與樁料碰撞．先由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出與樁料碰撞前瞬間的速度．對(duì)于碰撞過(guò)程，由于內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，所以系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出碰后共同速度．
（2）夯錘與樁料一起下沉的過(guò)程，重力和阻力做功，由動(dòng)能定理可求得樁料進(jìn)入泥土的深度．

解答 解：（1）夯錘與樁料碰撞前瞬間的速度 v₀²=2gh₀，得 v₀=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=$\sqrt{2×10×5}$=10m/s
取向下為正方向，打擊過(guò)程遵守動(dòng)量守恒定律，則得
   Mv₀=（M+m）v
代入數(shù)據(jù)解得 v=9m/s
（2）由乙圖知，樁料下沉過(guò)程中所受的阻力是隨距離均勻變化，可用平均力求阻力做功，為 W_f=-$\frac{1}{2}kh$•h=-$\frac{1}{2}k{h}^{2}$
對(duì)夯錘與樁料，由動(dòng)能定理得
   （M+m）gh+W_f=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 h=1m
答：
（1）夯錘與樁斜碰撞完畢后，隨樁料一起向下運(yùn)動(dòng)的速度是9m/s．
（2）打完第一夯后，樁料進(jìn)入泥土的深度是1m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是要分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律．要知道當(dāng)力隨距離均勻變化時(shí)，可用平均力求功，也可用圖象法，力與距離所夾面積表示阻力做功的大�。�