Question

【題目】如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑細(xì)管道由上、下兩部分組成。上部分ABC為拋物線形，下部分CDA為半圓形，兩部分之間平滑連接。已知拋物線頂點(diǎn)B位于圓心O的正上方，B，O間距為R，水平直徑AC長(zhǎng)為2R�，F(xiàn)通過(guò)一彈射裝置（圖中未畫出）從A點(diǎn)彈射出一質(zhì)量為m的小球，小球直徑略小于管道內(nèi)徑，重力加速度為g。

（1）要使小球能完整的運(yùn)動(dòng)一周，小球在A點(diǎn)彈射出的最小速度為多大？

（2）在（1）問(wèn)求得的最小彈射速度條件下，求小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)管道的最大壓力；

（3）有無(wú)這樣的彈射速度，使小球從A點(diǎn)彈射出后對(duì)拋物線管道無(wú)作用力？若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由；若有，試求出該速度的大小和方向。

Answer 1

【答案】（1）；（2）5mg；（3），

【解析】

（1）要使小球能夠運(yùn)動(dòng)完整的一周，則小球在B點(diǎn)速度要大于0，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于A到B增加的重力勢(shì)能和B點(diǎn)的動(dòng)能，列出等式即可求出答案。

（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，A點(diǎn)的動(dòng)能等于D點(diǎn)的動(dòng)能和A到D重力勢(shì)能減小量列出與相關(guān)等式。分析小球在D點(diǎn)的受力情況，得到合外力組成。再根據(jù)向心力公式計(jì)算得到小球?qū)�管壁壓力大小�?/span>

（3）如果小球被彈射出后運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，其軌跡恰好和拋物線管道重合，則小球?qū)�拋物線管道無(wú)作用力，而此時(shí)小球由A→B的逆過(guò)程可視為平拋運(yùn)動(dòng)。列出在方向位移相關(guān)公式再聯(lián)立解得答案。

（1）要使小球能完整的運(yùn)動(dòng)一周，小球在B點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

解得

即小球在A點(diǎn)彈射出的速度至少為。

（2）小球在管道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

根據(jù)向心力公式，小球在管道最低點(diǎn)時(shí)有

聯(lián)立解得

（3）如果小球被彈射出后運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，其軌跡恰好和拋物線管道重合，則小球?qū)�拋物線管道無(wú)作用力，而此時(shí)小球由A→B的逆過(guò)程可視為平拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球從A點(diǎn)彈射出后速度的大小為，方向與水平方向成角，則有

聯(lián)立解得

，

因此力的方向?yàn)榕c水平方向的夾角滿足。